한 점에서의 미분 가능성: 대수 (미분 불가능한 함수)

이 함수는 x=1일 때에 연속이거나 미분 가능한가요? 그리고 g(x)는 저것과 같이 정의되어 있으며, 이는 굉장히 굉장히 많은 선택지들을 제공합니다 연속이지만 미분 가능하지 않거나 미분이 가능하나 연속이지 않거나 미분 가능하며 연속이거나 둘 다 되지 않는 경우가 있습니다 그리고 항상 그렇듯이, 이 비디오를 멈추고 한 번 생각해보세요 그래서 단계 별로 진행해보죠 그래서 먼저 연속성에 대해 생각해 봅시다 g(x)가 연속이 되기 위해서, x=1일 때의 g(x)의 값이 x=1으로의 극한에서의 g(x)의 값과 같아야 합니다 그래서 g(1)의 값은 무엇인가요? g(1)에 대해서 알아보도록 하죠 우선 1-(1^2)은 0이 될 것이고 그래서 g(x)에서 x=1으로 x값이 끊임없이 가까워 질때의 g(x)의 값과 g(1)이 0으로 서로 같다는 것을 통해 연속이라는 것을 알 수 있습니다 그래서 좌극한과 우극한의 값을 구해보도록 하죠 그래서 좌극한을 계산한다면, 현재 다른 구간들, 그러니까 좌극한과 우극한에서 접근하기에 그것은 매우 도움이 될 것입니다 그래서 왼쪽으로부터 x의 값이 끊임없이 가까워진다고 생각합시다 이제 x가 1보다 작으면서 1에 가까워지는 좌극한을 알아봅시다 결국 이 둘은 서로 같아지게 될 것입니다 g(x)가 x=1으로의 좌극한을 취할 때에서 얻는 값인 것입니다 그래서 이 함수는 모든 실수 x에 대해서 연속으로 정의된 것을 알 수 있습니다 그래서 x를 1으로 치환하게 되면 이 식은 0으로 계산됩니다 잘하고 있으니, 하나만 더 해봅시다 오른쪽으로부터 접근해보죠 x가 오른쪽에서부터 1로 한없이 가까워지도록 합니다 그래서 좀 더 자세히 x에 대한 함수인 g에 대해 x가 1에 가까워지는 케이스를 보면 만약 x의 값이 1이상이라면 (x-1)²이 됩니다 다시 말해서 (x-1)²입니다 이 식은 다른 실수에 대해서도 정의 되어있습니다 이 식은 모든 실수에 대해 연속이며, 그래서 여기서 1이라는 수를 뽑아낼 수 있습니다 (1-1)²을 얻을 수 있고 다시 0이라는 값을 얻을 수 있습니다 그래서 좌극한, 우극한 모두 0이며, 이에 따라 g(x)의 극한이 x가 1에 수렴한다면 그 값이 0으로 수렴한다고 할 수 있습니다 g(1)의 값과도 같기도 합니다 이에 따라 연속이라고 확신할 수 있습니다 그래서 연속이 아니라고 하는 모든 것들을 지워 낼 수 있습니다 그래서 1이라는 수를 지워낼 수 있고 그리고 저기 있는 1을 지워 낼 수 있습니다 그래서 이것이 미분 가능한 지 알아봅시다 미분 가능성을요 그래서 미분 가능성을 보면 미분이 '가능함'을 말합니다 참 긴 단어이죠 미분 가능성을 알아봅시다 미분 가능하기 위해서 무엇이 참이어야 하나요? x가 1에 한없이 가까워지는 f(x)-f(1)의 값을 정의해야 하는데, 실수를 했네요, f가 아니라 g라고 써야 하죠 그래서 g(x)-g(1)/x-1의 극한에 대해서 알아봐야합니다 그래서 이 극한의 값을 좌극한과 우극한 모두 살펴보고 간단하게 만들어봅시다 g(1)=0임을 이미 알고 있습니다 그래서 그 식은 단순히 0이 됩니다 그래서 x가 1에 가까워지는 g(x)/(x-1)의 값을 알아보거나 극한의 값을 구할 수 있는 지를 알아봐야합니다 그래서 첫번째로 극한에 대해 알아봅시다 g(x)/(x-1)의 좌극한을 조사하여 본다면 조사하여 본다면 g(x)/(x-1)을 말이죠 그래서 왼쪽에서부터 접근한다면 g(x)은 저렇게 되자요 그래서 이와 같이 적을 수 있습니다 g(x)를 적기 보다는, x-1이라고 적을 수 있겠죠 (x-1)/(x-1)이라고 적고, 그리고 1이 아닌 이상, x가 1과 같지는 않은 이상, 어떤 값으로 계산될 수 있습니다 (x-1)/(x-1)은 1과 같아지게 됩니다 그래서 극한값은 1으로 수렴하게 됩니다 그렇게 하나를 계산했고 이제는 x가 오른쪽으로부터 1에 가까워지는 극한에 대해서 생각해봅시다 그래서 g(x)-g(1)을 적을 수 있지만, g(1)은 0과 같아지게 됩니다 그래서 g(x)/(x-1)으로 적을 수 있습니다 그러면 g(x)는 무엇인가요? 구한 바와 같이 (x-1)²입니다 그래서 g(x) 대신에 (x-1)²/(x-1)이라고 적을 수 있으며, x가 1과 같지는 않은 이상, 극한을 취할 것입니다 특히, 우극한에 대해서 이야기할 것입니다 그래서 이 표현, (x-1)²/(x-1)을 계산하면 그저 (x-1)만이 남을 것입니다 (x-1)²을 (x-1)으로 나눈 것은 (x-1)이 될 것입니다 그리고 이 극한을 다음과 같이 표현하면 1이 아닌 모든 실수 x에 대하여 연속임을 알 수 있습니다 사실은 이것은 이전에 (x-1)²/(x-1)으로 쓰였고 계산되었습니다 이들은 x=1일 때에 정의되지 않지만, 이것은 x≠1일 때는 정의되며, 1에 접근하고 있습니다 그리고 이 표현을 단순하게 만든다면 다음과 같이 됩니다 방금 계산을 했지만, 확실하게 하기 위해 검토하고 있는 중입니다 x≠1일때와 같은 값을 가지게 됩니다 그저 0이 되는 것입니다 그러면 x=1일때에 값을 이제 구할 수 있습니다 이 식은 0과 같아질 것입니다 그래서 알아야하는 것은, 우리가 미분하는 범위에 대해 좌극한과 우극한이 서로 다른 값을 지니게 된다면, 논리적으로 말이 된다는 것입니다 이 그래프는 다음과 같이 보일 것입니다 그래프의 기울기가 1인 것을 알기에, 다음과 같이 그릴 수 있습니다 그리고 x=1일 때에 이 함수의 값은 0으로 계산 될 것입니다 그리하여 다음과 같이 그려질 것입니다 그래서 그래프는 연속일 것이며 그래프는 확실히 연속이지만, x가 1로 가까워 질때의 기울기는 그 점을 0이라 두면 직각에 가까워 질 것입니다 그래서 그 부분에 대해서 미분 가능하지 않습니다 따라서 연속이지만 미분 불가능하다고 말할 수 있습니다 커넥트 번역 봉사단 | 이관형