한 점에서의 미분 가능성: 대수 (미분 가능한 함수)

아래에 주어진 함수는 x＝3일 때 연속 또는 미분가능일까요? 이 함수는 구분적입니다 몇 가지 선택지가 있습니다 연속이면서 미분불가능인 것 미분가능하면서 불연속인 것 연속이고 미분가능인 것 불연속이고 미분불가능한 것이 있습니다 이 중에서 하나는 바로 제외할 수 있습니다 함수가 미분가능이기 위해서는 먼저 연속이어야 합니다 미분가능이면서 불연속일 수는 없습니다 그러므로 하나는 제외합시다 이제 연속성에 대해 먼저 생각해봅시다 연속이 아니면 미분이 가능하지 않습니다 잠깐 생각해봅시다 이 함수가 연속이 가능하기 위해서는 x가 3에 한없이 가까워질 때 f(3)은 f의 극한값과 같아야 합니다 f(3)은 얼마일까요? x=3이므로 이 구간에 속합니다 따라서 6×3=18이 되고 18-9=9이므로 f(3)=9입니다 따라서 x가 3에 한없이 가까워질 때 f의 극한값은 9가 되어야 합니다 먼저 x가 3에 한없이 가까워질 때의 좌극한을 생각해봅시다 x가 좌측에서 3으로 가까워집니다 x가 3보다 작을 때 이 식에 따르면 f(x)는 x²이 됩니다 이것이 모든 실수에서 정의되고 연속이므로 3을 대입할 수 있습니다 따라서 이것은 9와 같습니다 이제 x가 3에 한없이 가까워질 때의 우극한은 무엇일까요? 우측에서 접근할 때 이 식에서 f(x)는 6x-9와 같습니다 따라서 6x-9라고 적습니다 6x-9는 모든 실수에서 정의되고 연속이므로 3을 x에 대입하면 18-9를 계산하면 됩니다 이것도 9와 같으므로 좌극한과 우극한이 모두 좌극한과 우극한이 모두 함숫값과 같은 9이므로 이 함수는 연속입니다 따라서 이 선택지를 제외시킬 수 있습니다 이제 미분가능성에 대해 생각해봅시다 이 함수가 미분이 가능하려면 미분이 가능하려면 x가 3에 한없이 가까워질 때 f(x)-f(3)/x-3의 극한값이 존재해야 합니다 우리가 이것을 계산할 수 있는지 알아봅시다 먼저 f(3)의 값은 이미 알고 있습니다 이미 계산을 했는데 f(3)은 9입니다 이제 이 극한을 계산할 수 있는지 혹은 이것의 좌극한과 우극한의 값이 무엇인지 그리고 그들이 같은 값이라서 그 값이 극한인지 알아봅시다 먼저 좌측에서 3으로 다가가는 극한에 대해 먼저 생각해보죠 f(x)-9/x-3입니다 좌측에서 접근하기 때문에 x가 3보다 작으므로 이 f(x)는 x²과 같습니다 이것을 f(x)-9에 대입하면 x²－9가 됩니다 이건 제곱수의 차이므로 (x+3)(x-3)입니다 (x+3)(x-3)/x-3은 이렇게 약분됩니다 따라서 이것은 x가 3이 아닌 한 x+3과 같습니다 좌측에서 다가가기 때문에 x＋3은 모든 실수에서 정의되고 연속이므로 x에 3을 대입할 수 있습니다 따라서 6을 얻을 수 있습니다 이제 우측에서 3으로 다가가는 극한을 생각해봅시다 우리가 우측에서 다가가므로 f(x)는 6x-9입니다 f(x)는 6x-9입니다 그리고 f(3)은 9죠 따라서 6x-18입니다 따라서 6x-18입니다 이것은 6(x-3)과 같고 우측에서 3으로 다가가기 때문에 약분하면 6이 됩니다 도함수가 존재하고 그 값은 x가 3에 한없이 가까워질 때의 극한과 같습니다 또한 좌극한과 우극한이 모두 6이므로 극한은 6과 같습니다 따라서 이 함수는 연속이면서 미분가능합니다