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주요 내용
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x가 0에 가까워질 때 sin(x)/x의 극한값

동영상 대본

이 영상에서 하려는 것은 세타가 0의 극한으로 접근할때 세타분의 사인 세타의 값이 1이 된다는 것을 증명하는 것입니다 제가 가지고 있는 약간의 기하학적 또는 삼각함수를 통해 시작합니다 이 하얀 원에서 이는 단위 원인데 이렇게 이름을 붙일것입니다 반지름이 1인 단위 원 그래서 빨간색 선의 길이가 나타내는것이 무엇입니까? 이 선의 높이는 반지름이 단위 원을 교차하는 선의 y성분입니다 단위원에서 삼각함수의 정의에 의해 삼각함수에 의해 이 선의 길이는 사인 세타가 될 것입니다 만약 제4사분면에 대해서도 이 세타에 대해 양의 값을 갖도록 하기 위해서는 그저 이 값이 사인 세타의 절댓값을 취해야함을 알 수 있습니다 이 파란색 선은 어떻게 될까요? 이를 삼각 함수로 표현할 수 있을까요? 생각해 봅시다 탄젠트 세타가 어떨까요? 여기 위에 씁시다 세타의 탄젠트는 밑변분의 높이 입니다 그래서 여기 위에 있는 더 큰 삼각형을 보면 이게 라디안에서 각도입니다 여기가 높이 부분입니다 밑에 밑면 은 길이가 1입니다 기억하세요 이는 단위원입니다 그래서 이는 길이가 1이고 그래서 탄젠트 세타는 높이에 해당합니다 높이는 탄젠트 세타와 같습니다 그리고 이전과 같이 이는 제1사분면에서 양수가 될것이지만 그러나 제 1사분면과 제 4사분면에서의 증명과정을 위해 여기에 절댓값을 씌울게요 현재 우리는 다 했는데 몇몇 삼각형들과 각각의 넓이에 대해 생각해볼것입니다 첫 번째로 쐐기 안에 있는 삼각형을 그릴건데 이 파이 조각안에서 원안에 있는 파이 조각안에서 그릴것입니다 그래서 이 삼각형을 그릴 수 있습니다 그리고 제가 여기 위에 빗금치고 있는 영역에 대해 생각해봅시다 어떻게 이 넓이를 표현할 수 있을까요? 음, 이는 삼각형이네요 우리는 삼각형이 넓이가 1/2 곱하기 밑변 곱하기 높이라는것을 알고있죠. 높이를 사인세타의 절댓값으로 설정해주었고 밑변은 1이라는것도 알고 있죠 그래서 이 넓이는 1/2 곱하기 길이가 1인 밑변 곱하기 절댓값 사인 세타를 길이로 가지는 높이를 곱한것이 됩니다 위에 이걸 다시 쓸게요 이거를 절댓값 사인세타 나누기 2로 쓸수 있습니다 그리고 노란색 으로 색칠한 쐐기의 넓이를 생각해봅시다 전체 원의 몇 퍼센트에 해당할까요? 만약 이 원 한바퀴를 쭉 돌아 간다면 이는 2파이 라디안이 될 것이고 그래서 이는 세타 나누기 2파이 우리가 알고 있는 전체 원의 넓이해 해당합니다 이는 단워원이고 반지름이 1이고 원의 면적은 반지름이 1이고 이를 제곱하고 여기에 파이를 곱하면 됩니다 그래서 이 쐐기의 넓이는 2분의 세타입니다 그리고 이 세타가 제4사분면에도 적용되게 하려면 여기에 절댓값을 씌어주면 됩니다 왜냐하면 넓이에 대해 논하기 때문이죠 그리고 이 더 큰 파란색 삼각형에 대해 생각해보면 이는 상당히 간단합니다 이 넓이는 1/2 곱하기 밑변 곱하기 높이해 해당합니다 그래서 넓이는 이것이 전체이고 이는 1/2 곱하기 길이가 1인 밑변에 높이를 곱한것인데 이는 절댓값 탄젠트 세타에 해당합니다 그래서 이를 절댓값 탄젠트 세타 나누기 2로 적어줍니다 그러면, 이 쐐기 안에 있는 분홍색 또는 연어색 삼각형의 넓이를 어떻게 비교할 수 있을까요? 그리고 어떻게 쐐기의 넓이와 더 큰 삼각형의 넓이를 비교할 수 있을까요? 연어색 삼각형의 넓이가 쐐기의 넓이보다 작거나 같다는것은 명백하고 쐐기의 넓이가 큰 파란색 삼각형보다 작거나 같다는 것 또한 명백합니다 쐐기는 연어색 삼각형 더하기 위에 있는 이 영역을 포함하고 그리고 이 파란 삼각형은 쐐기와 위에 있는 이 영역을 포함합니다 그래서 우리는 시각적으로 위에 있는 명제가 맞다는것을 알 수 있고 그리고 이제는 약간의 대수적인 조작을 할 것입니다 모든 항에 2를 곱하면 절댓값 사인세타는 세타의 절댓값보다 같거나 작고 이는 절댓값 탄젠트 세타보다 같거나 작습니다 절댓값 탄젠트 세타 라고 쓰는 대신에 이를 절댓값 코사인 세타분에 절댓값 사인 세타라고 쓰겠습니다 이는 절댓값 탄젠트 세타와 같은 값을 가질거에요 그리고 제가 이렇게 한 이유는 우리는 이를 모두 사인세타로 나룰 수 있기 때문이죠 모든 항을 양수로 나누어주기 때문에 부등식의 방향은 바뀌지 않습니다 그래서 이를 진행하면 저는 이를 절댓값 사인 세타로 나눌것 입니다 저는 이를 절댓값 사인 세타로 나눌것 입니다 그리고 저는 이를 절댓값 사인 세타로 나눌것 입니다 그리고 어떻게 되나요? 여기 보면 여기는 1로 되고 오른쪽에는 1 나누기 절댓값 코사인 세타를 얻는데 이 둘은 약분되어 사라집니다 다음 단계는 모든것의 역수를 취해줍니다 그리고 모든것에 역수를 취해주면 부등식의 방향은 바뀌게 됩니다 1의 역수는 여전히 1이고 그러나 이것의 역수를 취해주면 이는 세타분의 사인세타보다 크거나 같게 되고 그리고 이는 1나누기 절댓값 코사인세타의 역수보다 크거나 같게 됩니다 우리는 제 1사분면과 제 4사분면에 대해 생각했습니다 우리는 세타에 대해 이쪽 방향 또는 이쪽 방향으로 0에 접근하기 때문에 그래서 이는 제 1사분면과 제 4사분면에 있다 생각할 수 있습니다 제 1사분면에서 세타가 양수일때 사인 세타 또한 양수 일것입니다 그리고 제 4사분면에서 세타가 음수일때 사인 세타 또한 같은 기호일 것입니다 이 또한 음수가 되겠죠 따라서 이 절댓값 기호는 필요하지 않겠죠 제 1사분면에서 사인 세타와 세타 모두 양수입니다 제4사분면에서 둘다 음수이지만 이를 나누어주면 양의 값을 얻을 수 있고 이를 지워줄 수 있습니다 우리가 제 1사분면 또는 제 4사분면에서는 우리의 X값은 음수가 아니고 또한 코사인 세타는 단위원에서 x방향 성분이기 때문에 음수가 아닐것이므로 이 절댓값 기호가 필요 없습니다 거의 다 했기 대문에 잠깐 멈추어 봅시다 3개의 함수를 설정했어요 세타에 관한 함수f 에 대해 생각하면 이 함수는 1이고 세타에 관한 함수 g는 이것이고 함수 h는 이것입니다 우리가 관심을 가지고 있는 구간에서 세타는 마이너스 2분의π보다 크고 2분의 π보다 작고 이 이 식은 이 구간 위에서 어느 세타에 대해서도 참임을 확인 할 수 있습니다 세타분의 사인세타는 세타가 0인 지점을 제외한 구간에서 정의됩니다 하지만 그 외의 모든 점들에서는 정의가 되어 있기에 함수의 극한에서는 그 점의 함숫값은 필요하지 않습니다 그래서 우리가 말할 수 있는것은 조임정리 또는 샌드위치 정리에 의해 만약 이것이 이 구간에서 참이라면 다음 또한 참임을 알 수 있습니다 여기서 약간의 기대를 해봅시다 세타가 0으로 갈때의 극한값은 여기서 세타가 0으로 갈때 극한보다 크거나 같을 것이고 우리가 관심있는 것은 세타분의 사인 세타이고 이 값은 이것의 세타가 0으로 접근할때의 극한값과 크거나 같습니다. 그리고 이것이 1과 같아진다는것은 명백합니다 이것에 우리가 관심있습니다 그리고 세타가 0으로 접근할대 코사인 세타의 극한값은 무엇입니까? 코사인 0은 그저 1이지요 그리고 이는 연속함수이므로 이는 그냥 1이 될거에요 봅시다 이것의 극한은 1보다 작거나 같고 이것은 1보다 크거나 같죠 때문에 이는 1이 되어야만 합니다 그리고 끝났습니다 커넥트 번역 봉사단 | 오준혁