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양의 정수가 지수인 식에 대한 멱의 법칙 증명하기

동영상 대본

제가 방금 이항정리 강의를 몇 개 찍고 왔습니다 이제 이항정리 부분은 다 끝난 것 같으니 제가 봤을 때 지금은 일반적 형태의 도함수를 구할 좋은 때인 것 같습니다 xⁿ의 도함수를 구해 봅시다 우리가 이미 이항정리를 알고 있기 때문에 그것을 이용할 수 있을 것입니다 도함수가 무엇인지 즉 도함수의 원래 정의가 무엇인지 떠올려 봅시다 Δx가 0으로 갈 때 f(x+Δx)의 극한입니다 그러면 이 경우에는 f(x+Δx)는 (x+Δx)ⁿ이 됩니다 여기에 f(x)를 뺍니다 즉 xⁿ을 빼는 것입니다 이것들을 Δx로 나눠주면 됩니다 우리는 이항정리를 알고 있기 때문에 (x+Δx)ⁿ을 전개할 수 있습니다 만약 이항정리가 무엇인지 잘 모르겠다면 제 유튜브 pre-calculus 목록에 가서 이항정리 강의들을 시청하시기 바랍니다 이항정리에 따르면 이 식은 이항정리에 따르면 이 식은 Δx가 0으로 갈 때 자 이항정리를 쓸 때입니다 이 부분이 무엇과 같으냐 하면 xⁿ + nC₁ (역자) nC₁과 화면에 나오는 표현은 같은 표현입니다 다시 한 번 말하지만 만약 제가 쓰는 것들이 여러분에게 외계어처럼 느껴진다면 이항정리를 복습하고 오십시오 nC₁×(x의 n-1제곱)×(Δx) 더하기 nC₂×(x의 n-2제곱)×(Δx)²입니다 그리고 엄청나게 많은 항들이 나올 것입니다 사실 이 증명에서 이 모든 항들을 계산할 필요는 없습니다 물론 이항정리를 통해 계산할 수는 있지만 말입니다 마지막에 더할 항은 1에다가 nCn과 1이 같기 때문입니다 nCn 에다가 (x의 0제곱)과 (Δx)ⁿ을 곱합니다 자 이게 바로 이항정리로 식을 전개한 모습입니다 이제 뺄셈 부분을 해 봅시다 초록색 부분은 (x+Δx)ⁿ입니다 그러니 여기다 xⁿ을 빼 주면 되겠습니다 저것은 xⁿ이라고 쓴 겁니다 약간 짓눌려져서 이상하게 쓰였지만 이 모든 것들을 Δx로 나눠줍니다 이 식을 좀 더 단순화할 수 있는지 보겠습니다 자 먼저 이 부분에 xⁿ이 있고 맨 끝에도 xⁿ이 보입니다 저 두 항이 상쇄되어 없어질 것입니다 이제 남은 항들을 보면 분자에 모든 항들이 Δx를 가집니다 그러면 이 분자 전체랑 분모를 똑같이 Δx로 나누면 됩니다 같은 표현으로 1/Δx를 분자에도 곱하고 분모에도 곱할 수도 있습니다 그러므로 이 식은 정리가 됩니다 Δx가 0으로 갈 때 위쪽과 아래쪽을 모두 Δx로 나눠줍니다 1/Δx를 곱한다고 생각해도 됩니다 이렇게 정리됩니다 nC₁ × x^(n-1) 여기 Δx를 Δx로 나눴기 때문에 1이 되어 사라졌습니다 nC₂ × x^(n-2) 를 더하고 여기에는 (Δx)²이었는데 우리가 Δx로 나눴으니 Δx가 됩니다 Δx가 됩니다 여기서부터 엄청나게 많은 항들이 있습니다 이 모든 항들을 Δx로 나눠주면 됩니다 이제 마지막 항을 보면 원래 (Δx)ⁿ을 가졌습니다 그런데 Δx로 나누기 때문에 마지막 항은 이렇게 됩니다 nCn에 x의 0제곱을 곱하는데 1이니까 무시해도 되죠 그리고 (Δx)ⁿ을 Δx로 나눕니다 그러므로 Δx의 n-1제곱이죠 우리의 목표가 뭔지 다시 떠올려 봅시다 기억하십시오 우리는 극한을 구하고 있습니다 Δx를 0으로 보내서 말입니다 Δx가 0으로 접근하기 때문에 여기 많은 항들이 Δx를 가지므로 모두 0이 됩니다 무언가에 0을 곱하면 0이기 때문입니다 이 첫 번째 항에는 Δx가 없지만 다른 모든 항들에는 Δx가 있습니다 다른 모든 항들은 위에서 Δx로 나눴음에도 Δx를 여전히 가지고 있습니다 그러므로 0이 됩니다 다 0이 됩니다 여기 n-1제곱 항도 모두 0이 됩니다 그러고 나서 남은 딱 하나의 항은 nC₁×(x의 n-1제곱)이네요 이제 nC₁의 값을 찾아야 합니다 nC₁은 n!을 1!(n-1)!로 나눈 것입니다 여기다가 (x의 n-1제곱)을 곱합니다 1!=1이니 지워 줍시다 예를 들어 만약 7!을 6!로 나눈다면? 7입니다 또 다른 예로 3!을 2!로 나누면 3이라는 것을 쉽게 구할 수 있습니다 또 10!을 9!로 나누면 10이 됩니다 그러므로 n!을 (n-1)!로 나눈다면 n과 같아진다고 유추할 수 있습니다 그러므로 이 식은 n×(x의 n-1제곱)이 됩니다 이것이 바로 xⁿ의 도함수입니다 바로 n×(x의 n-1제곱) 우리는 방금 임의의 양의 정수 n에 대해서 xⁿ의 도함수를 유도했습니다 그리고 나중에 이 식이 모든 실수 지수에 대해서도 성립한다는 것을 알게 될 것입니다 다음 영상에서 뵙겠습니다 빼먹을 뻔 했는데 또 하나 짚고 넘어가고 싶었던 내용은 제가 여러분들께 이항정리를 알아야 된다고 말씀드렸는데 잘 생각해 보시면 꼭 그럴 필요도 없습니다 왜냐하면 어떤 이항전개에서도 여러분이 아주 약간의 배경지식은 있어야 하는데 여러분이 직접 이항전개를 몇 번 해 보셨다면 아시겠지만 어떤 경우든 (a-b)ⁿ을 구할 때는 첫 항은 aⁿ이고 둘째 항은 n×(a의 n-1제곱)×b입니다 그리고 이후에 많은 항들이 있습니다 그렇지만 이 두개의 항만이 이번 증명과 영향을 주는 항인데 다른 모든 항들은 0이 되어 없어지기 때문입니다 Δx가 0으로 가기 때문입니다 혹시 방금 이렇게도 생각할 수 있다는 것을 아셨지만 이항정리를 써서 푸는 것이 훨씬 간편하다고 느껴지시면 방금 여러분들을 혼란스럽게 했던 말들은 무시하셔도 좋습니다 제 의도는 이 나머지 항들이 어차피 0이 될 것이라는 것을 말하고 싶었습니다 이 강의가 만족스러우셨기를 바랍니다 다음 강의에서 뵙겠습니다