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주요 내용

제곱근함수에 대한 멱의 법칙 증명하기

동영상 대본

이번 시간에는 √x 의 도함수를 구하여봅시다 미분의 기본 정의에 의해 √x의 도함수는 다음 식으로 표현할 수 있습니다 Δx가 0으로 접근하는 극한에 대해 참고로 Δx를 d 또는 h 로 표기하기도 합니다만 이 영상에서는 Δx를 사용합니다 f(x) = √x 라 합시다 이 때 f(x+Δx) - f(x) 는 √(x+Δx) - √f(x) 입니다. 분모에는 Δx 가 들어갑니다 식이 간단해보이지는 않습니다 뭔가 식에 변화를 가해봅시다 식의 분모와 분자에 분자의 켤레수를 곱해줍시다 분자의 켤레수를 곱해줍시다 분자의 켤레수를 곱해줍시다 다시 써봅시다 Δx가 0에 접근하는 극한에 대해 Δx가 0에 접근하는 극한에 대해 √(x+Δx) -√x 를 √(x+Δx) -√x 를 Δx 로 나누어줍니다 여기에 다음을 곱해줍니다 √(x+Δx) + √x 를 √(x+Δx) + √x 로 나누어 준 식입니다 √(x+Δx) + √x 로 나누어 준 식입니다 x 와 Δx 가 0이 아니라 할 때 이 식의 값은 1입니다 그러므로 이 식을 곱해주어도 문제가 없습니다 그러므로 이 식을 곱해주어도 문제가 없습니다 그러므로 이 식을 곱해주어도 문제가 없습니다 다시 위의 식을 써봅시다 (a-b) × (a+b) 의 꼴입니다 이를 계산해보면 (a-b) × (a+b) = a² - b² 입니다 (a-b) × (a+b) = a² - b² 입니다 이를 주어진 식에 적용해봅시다 이를 주어진 식에 적용해봅시다 a 항을 √(x + Δx) 라 할 때 a 항을 √(x + Δx) 라 할 때 a² 은 x + Δx 입니다 a² 은 x + Δx 입니다 b 는 √x 입니다 그러므로 b² 은 x 입니다 그러므로 b² 은 x 입니다 이 식을 Δx 로 나누어준 다음 √(x + Δx) + √x 를 분모에 곱해줍니다 이제 식을 간소화합시다 x 와 -x 는 상쇄되어 사라집니다 x 와 -x 는 상쇄되어 사라집니다 분자와 분모에 각각 Δx 가 존재합니다 이를 약분해줍니다 이 식을 정리해봅시다 Δx 가 0에 접근하는 극한에 대해 분자는 1입니다 Δx는 0이 아닌 0에 접근하는 수입니다 Δx로 나누는 것이 가능해야 하기 때문입니다 분모는 √(x + Δx) + √x 입니다 이제 극한을 곧바로 적용시킬 수 있습니다 이제 극한을 곧바로 적용시킬 수 있습니다 Δx는 0에 접근하고 있으므로 Δx에 0을 대입해줍니다 이를 적용시키면 Δx는 0이므로 Δx는 0이므로 분모는√x + √x입니다 분모는√x + √x입니다 그러므로 준 식은 1/2√x 입니다 이는 (1/2) × x^(-½) 입니다 우리는 방금 x½ 의 도함수는 (1/2) × x^(-½) 이라는 것을 증명했습니다 이는 xⁿ 의 도함수가 n × x^(n-1) 이라는 법칙과도 일치합니다 n이 1/2 일 때도 이 법칙이 성립한다는 것입니다 모든 분수에 대해 이를 증명해보진 않았지만 이러한 방식으로 나머지 또한 증명해볼 수 있을 것입니다 감사합니다