곱의 미분법 증명

이 영상의 목적은 여러분이 만족할만한 곱셈 법칙의 증명을 보여 주는 것입니다. 자, 미분의 정의부터 시작해봅시다. 여기 함수 f(x)가 있습니다. 그리고 이 함수의 미분을 하려면 미분의 정의에 따라서 함수 f(x)의 미분은 h가 0으로 수렴할 때 f(x+h)-f(x)를 h로 나눌 때의 값입니다. 시각적으로는 접선의 기울기라고 할 수 있죠. 그런데 지금은 조금 더 흥미로운 것을 하려고 합니다. 저는 미분을 f(x)만 쓰지 않고 두 개의 함수의 곱인 f(x)* g(x)를 하려고 합니다. 그리고 이에 대한 간단한 답이 나오면 그것이 곱셈 법칙이 되는 것이지요. 자, 이 문제를 풀기 위해서 미분의 정의를 사용해보겠습니다. h가 0으로 수렴할 때 분모에는 h가 있고, 분자에는 아주 긴 유리식이네요 분모에는 h가 있습니다. 먼저 x+h에 대한 식을 써보겠습니다. 그래서 저 항들은 f(x+h)*g(x+h)가 됩니다. 그리고 f(x)에 대한 아니, x에 대한 식을 쓸 겁니다. f(x)*g(x)를 빼게 되겠지요. 그전에 공간을 조금 비워두고요. 이 공간을 비워둔 이유는 곧 알게 될겁니다. 이제 x에 대한 식, 즉 f(x)g(x)를 뒤에서 뺄겁니다. 지금까지 한 것은 미분의 정의를 f(x) 대신 f(x)*g(x)에 적용 한 것 뿐입니다. 그래서 여기 f(x+h)*g(x+h)가 있고 f(x)*g(x)를 빼고 분모는 h인 식이 있습니다. 그리고 h가 0으로 접근할 때의 극한을 찾는 거지요. 자, 왜 이 공간을 비워 두었을까요? 왜냐하면 지금 있는 형태로는 대수적으로 풀어내기가 어렵기 때문입니다. 이 극한값을 찾을 방법이 없으므로 한눈에 보자마자 할 수 있는건 별로 없습니다 그리고 제가 지금 보여드리려는 것은 해결의 지름길이라고 할 수 있겠네요. 이 방법을 제가 직접 고안하지는 않았습니다. 만약 몇시간동안 고민을 한다면 알아 낼 수도 있었겠지요. 제 추측으로는 어떤 사람이 해결 방법을 오래 고민하다가 "오 잠깐만 같은 항을 더하고 빼면 이걸 대수적으로 풀 수 있고 우리가 흔히 곱셈 법칙이라고 아는 것에 도달할 수 있겠구나!" 라고 알아냈을 겁니다. 자, 여기서는 무엇을 더하고 빼야 할까요? 힌트를 주겠습니다. 여기 f(x+h)*g(x)를 더하면 아니, f(x+h)*g(x) 를 빼고, 여기서 그냥 뺄 수는 없고 식의 값을 바꾸지 않기 위해서 더하기도 해야겠지요. f(x+h)*g(x)를 더합니다. 같은 것을 더하고 뺐으므로 식의 값은 전혀 변하지 않았지만 이 식은 이제 대수적으로 풀 수 있게 되어서 곱셈 법칙에 도달할 수 있게 됩니다. 그리고 이 강의를 보다가 흥미가 생긴다면 영상을 잠깐 멈추고 직접 생각 해 보기를 바랍니다. 자, 계속해서 이 식에 대해서 알아봅시다. 그래서 이 모든것이 결국 h가 0으로 접근 할 때의 극한이 되겠지요. 자, 제가 가장 먼저 할 것은 이 식의 이 부분을 살펴보겠습니다. 이제 저는 f(x+h)를 공통인수로 빼 내겠습니다. f(x+h)를 공통인수로 하면 이 부분이 f(x+h) f(x+h) 곱하기 왼쪽 식은 g(x+h)가 남겠지요 이건 저기 있는 g(x+h) 빼기 g(x) g(x+h)-g(x) 괄호를 잊어버렸습니다. 이런, 색을 잘못 선택했습니다. 새로운 소프트웨어를 사용하고 있는데 색을 바꾸기가 좀 어렵네요. 이 증명은 한눈에 보이는 증명이 아니라서 제가 최소한 할 수 있는 것은 색깔을 잘 사용하는 것 뿐이네요. 자, g(x+h) 빼기 저기 있는 g(x) 분모는 h. 분모는 h. 그래서 여기 이 부분과 이 부분, 그리고 아직도 h가 분모인 이 부분 이렇게 동그라미로 표시하겠습니다. 자, 여기 이 부분은 이렇게 나타낼 수 있습니다. 먼저 이 부분의 공통인수인 g(x)를 선택해 더하기 g(x) 곱하기 여기 있는 f(x+h) 곱하기 여기 있는 f(x+h) 빼기 이 부분의 f(x) 빼기 f(x). 그리고 이 식의 분모는 h. 분모는 h. 극한의 성질을 사용하면 여기 있는 것들의 극한은 그저 이것이 h가 0에 접근 할 때의 극한 더하기 여기 있는 식의 h가 0에 접근 할 때의 극한일 뿐입니다. 그리고 곱한 것의 극한은 극한값들을 곱한 것과 같습니다. 그래서 앞에서 말한 두개의 극한의 성질을 이용하면 이 모든것을 (잠시 공간을 좀 챙겨두고요) f(x+h)의 h가 0으로 접근 할 때의 극한값에 f(x+h)의 h가 0으로 접근 할 때의 극한값에 곱하기 여기 있는 g(x+h)-g(x) g(x+h)-g(x) 에 분모 h 이제 여러분은 이 문제의 해법을 눈치 챘을 수도 있겠네요. 좋습니다. 더하기 더하기 여기에다가 조금 더 깨끗하게 쓰도록 하죠. h가 0으로 접근할 때의 g(x)의 극한값 h가 0으로 접근할 때의 g(x)의 극한값 곱하기 h가 0으로 접근 할 때의 h가 0으로 접근 할 때의 f(x+h)-f(x)에 f(x+h)-f(x)에 f(x+h)-f(x)에 이 식에 분모를 h로 놓습니다. 잠깐 괄호를 넣도록 하겠습니다. 자, 이것, 이것, 그리고 이것. 여기서 한 것은 고작 더한 식의 극한값은 (그것은 극한값들을 더한 것과 같겠지요) 이것과 이것의 극한값을 더한 것과 같습니다. 그리고 곱한 식의 극한값은 극한값들의 곱과 같게 됩니다. 그냥 극한의 성질만 사용한 것 뿐입니다. 자, 이제는 풀어 봅시다. 색을 다르게 하고 여기 있는 것의 극한 값은 무엇일까요? f(x+h)의 h가 0으로 접근할 때의 극한값 말입니다. 그냥 f(x)가 되겠지요. 자, 이제부터 본론입니다. 여기 이건 뭘까요? (g(x+h)-g(x))/h 에서 h가 0으로 접근 할 때의 극한값 말입니다. 그건 그저 미분의 정의일 뿐입니다! 그것은 g(x)를 미분한 거지요. 그래서 여기 이건 g(x)의 미분식인 g'(x)가 됩니다. g'(x) 그래서 이 두 항을 곱하고 다음에는 덧셈 부호가 있고, g(x)에서 h가 0으로 수렴할 때의 극한값은 뭘까요? h가 있지도 않으므로 그냥 g(x)로 남습니다. 자, g(x) 곱하기 이게 갈색이니까 이건 노란색으로 하겠습니다 곱하기 자 이제 정말 얼마 남지 않았습니다. 마지막까지 힘내봅시다. (f(x+h)-f(x))/h 에서 h가 0으로 접근 할 때의 극한값이 됩니다. 그런데 이 식은 f(x)의 미분의 정의로군요! 이건 f'(x) 입니다. f'(x)를 곱합니다. 자, 끝났군요. f(x)*g(x)의 미분은 이겁니다. 조금 더 간략하게 쓰면 이건 f(x)*g'(x) f(x)*g'(x) f(x)*g'(x) 더하기 g(x)*f'(x) 가 됩니다. 조금 다른 시각에서 보면 앞의 함수 곱하기 뒤의 함수의 미분 더하기 뒤의 함수 곱하기 앞의 함수의 미분 이라고 할 수 있습니다. 이건 곱셈 법칙의 여러 증명 중 하나입니다.