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이번 강의에서는 멱함수 미분공식의 타당성에 대해 알아보겠습니다 이 강의에서 증명을 하진 않지만 멱함수의 미분공식에 대해 자세히 알게 될 거에요 함수 f(x)를 x라고 합시다 멱함수의 미분공식을 적용하면 f'(x)는 무엇일까요? x는 x¹ 이므로 멱함수의 미분공식에 n=1을 대입하면 f'(x) = 1*x^(1-1) 즉 f'(x) = 1*x^0 이므로 1이 됩니다 이를 시각적으로 이해하기 위해 직교좌표계에서 생각을 해봅시다 y축과 x축을 긋고 함수 f(x)를 좌표위에 나타내 볼게요 y=x 이므로 이런 직선이 됩니다 혼란을 피하기 위해 y 대신 f(x)를 쓰겠습니다 f'(x)를 나타내보겠습니다 f'(x)=1이므로 x의 값에 관계없이 항상 1의 값을 가집니다 이것이 미분의 개념과 일치하는지 알아보겠습니다 함수 f(x)를 살펴봅시다 이 점에서의 접선의 기울기는 얼마일까요? 접선의 기울기는 위치에 관계없이 1로 일정합니다 직선의 경우 기울기가 일정하므로 이는 타당한 사실입니다 이점에서의 기울기도 1이며 이점도 마찬가지입니다 기울기가 일정하지 않은 경우를 살펴봅시다 함수 g(x)를 x²라고 합시다 함수g(x)를 x에 대해 미분을 할때 멱함수의 미분공식을 적용합니다 n에 2를 대입하면 g'(x) = 2*x^(2-1)이며 결국 g'(x)=2x 입니다 이것이 옳은지 확인해봅시다 그래프를 그려보겠습니다 정확성을 위해 x, y축에 1, 2, 3, 4, 5를 표기하겠습니다 함수g(x)는 x가 0일때 g(0)=0 x가 1일때 g(1)=1 x가 -1일때 g(-1)=1 x가 2일때 g(2)=4 함수위의 점들을 그래프위에 표시합니다 이러한 형태는 쌍곡선입니다 점들을 이이서 곡선을 그려봅니다 대칭성을 유지하며 그립니다 이 곡선이 g(x)=x²의 그래프입니다 g'(x)의 그래프를 그려봅시다 g'(x)=2x이므로 g'(x)는 원점을 지나고 기울기가 2인 직선이 됩니다 x가 1일때 y는 2 x가 2일때 y는 4입니다 g'(x)는 이러한 직선입니다 이것이 맞는걸까요? 대략적으로 보면 맞는것 같습니다 이 점에서의 접선을 그려보면 음의 기울기를 가지는 가파른 직선입니다 g'(x)에 x=-2를 대입하면 -4가 됩니다 이 점에서의 접섭의 기울기는 -4입니다 x가 0인 위치를 살펴보겠습니다 g'(0)은 x=0인 위치에서의 접선의 기울기를 의미합니다 g'(0)은 0입니다 이것이 맞는것일까요? g(x)를 보면 맞다는 것을 알 수 있습니다 x가 2인 위치를 살펴보겠습니다 접선은 이런 모양인데 양의 기울기를 가지는 가파른 직선입니다 x가 2인 위치에서의 접선의 기울기는 얼마일까요? x에 2를 곱하여 얻을 수 있으며 2×2는 4입니다 이 점에서의 접선의 기울기는 4입니다 이 강의에서 다뤘던 내용들을 숙지하시고 접선의 기울기를 직접 계산해 보십시오 멱함수의 미분공식이 옳다는 것을 알 수 있을 겁니다