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주요 내용

동영상 대본

이 둘은 미적분학에서 알아두면 가장 좋을 도함수 중 하나입니다 sin(x)의 x에 대한 도함수가 cos(x)이고 sin(x)의 x에 대한 도함수가 cos(x)이고 cos(x)의 x에 대한 도함수가 -sin(x)라는 것을 알면 cos(x)의 x에 대한 도함수가 -sin(x)라는 것을 알면 복잡한 도함수를 푸는데 도움이 됩니다 복잡한 도함수를 푸는데 도움이 됩니다 이번 동영상에서는 더 깊게 파고들어가 이 첫 번째 도함수를 증명해 보겠습니다 두 번째는 증명하지 않겠지만 이것을 증명할 때와 같은 방식을 사용하면 됩니다 확실하게 그냥 지어낸 것이 아니라 수학적으로 증명을 해보겠습니다 그러면 계산해 봅시다 sin(x)의 x에 대한 도함수는 정의에 따라 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 정의에 따라 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의 극한값입니다 sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의 극한값입니다 sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의 극한값입니다 sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의 극한값입니다 sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의 극한값입니다 sin(x + Δx) - sin(x)/Δx의 극한값입니다 이는 그저 점 (x, sinx)와 (x + Δx, sinx) 사이의 기울기일 뿐입니다 (x + Δx, sinx) 사이의 기울기일 뿐입니다 이건 어떻게 계산할까요? sin(x + Δx)는 이미 배웠던 삼각함수 덧셈정리를 사용해 구할 수 있습니다 그래서 이것은 무엇과 같냐면 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 이걸 삼각함수 법칙으로 다시 써서 이걸 삼각함수 법칙으로 다시 써서 cos(x) sin(Δx) + sin(x) cos(Δx) 라 하고 그리고 sin(x)를 빼 줍니다 그리고 sin(x)를 빼 줍니다 이 모두를 선을 그리고요 선을 그리고요 Δx로 나눈 것의 극한값입니다 이것을 다시 쓰면 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 이 부분을 빨간색으로 하겠습니다 cos(x) sin(Δx)/Δx입니다 그리고 오렌지 색 모두를 더해 줍니다 그리고 오렌지 색 모두를 더해 줍니다 지금 하는 건 어떤 것의 합을 Δx로 나눈 것을 나눈 것 뿐입니다 (sin(x) cos(Δx) - sin(x))/Δx를 더해 줍니다 이 방정식 전체의 극한값을 구하는 것임을 기억하세요 이 방정식 전체의 극한값을 구하는 것임을 기억하세요 이 합의 극한값은 극한값들의 합과 같습니다 따라서 이것은 첫 번째 부분은 빨간색으로 할게요 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 cosx(sin(Δx)/Δx)의 극한값에 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 Δx가 0에 한없이 가까워질 때 sin(x)를 인수로 뺄 수 있겠네요 sin(x)를 밖으로 빼고 sin(x) (cosΔx -1)/Δx의 극한값을 더해 줍니다 더 간단히 할 수 있는지 보죠 내려가겠습니다 왼쪽 방정식은 다시 쓸 수 있습니다 이 cos(x)는 Δx가 0에 한없이 가까워지는 것과 아무 상관이 없습니다 따라서 극한 밖으로 빼낼 수 있습니다 cos(x) ᐧ lim(Δx->0) (sin(Δx)/Δx) 가 됩니다 그리고 이제 이것을 더해야 합니다 어떻게 쓸 수 있을지 보죠 여기 sin(x)가 있습니다 조금 다르게 적어보죠 (cos(Δx) -1)은 -(1 - cos(Δx))와 같습니다 -(1 - cos(Δx))와 같습니다 그래서 sin(x)와 -(1 - cos(Δx))가 있는데 Δx는 sin(x)와 아무 관련이 없으므로 음수와 sin(x)를 밖으로 꺼낼 수 있습니다 -sin(x)에 lim (Δx->0) (1 - cos(Δx) / Δx)를 곱한 것이 됩니다 이 동영상에선 하지 않겠지만 다른 영상에서 증명을 살펴보겠습니다 다른 영상에서 보았듯이 샌드위치 정리라고도 알려져 있는 조임정리를 사용해 샌드위치 정리라고도 알려져 있는 조임정리를 사용해 Δx가 0에 한없이 가까워질때 sin(Δx)/Δx의 극한값은 1입니다 sin(Δx)/Δx의 극한값은 1입니다 또 다른 영상에서 볼 수 있는데 이 정리에 따르면 이 극한값이 1일 때 이 극한값은 0입니다 그러면 남는 것은 이 둘을 증명하는 영상을 시청하는 것을 추천합니다 미적분학에서 아주 유용한 극한입니다 미적분학에서 아주 유용한 극한입니다 cos(x) ᐧ 1 - sin(x) ᐧ 0이 남습니다 cos(x) ᐧ 1 - sin(x) ᐧ 0이 남습니다 이건 다 없어지고 cos(x)가 남습니다 cos(x)가 남습니다 다 끝났습니다