기본 도함수 공식: 표

함수 f, g 그리고 h에 대해 흥미로운 정보를 받았습니다 f함수에서 주어진 각각의 x값에 대한 f(x)의 값이 무엇인지 말해 주고 있습니다 그리고 f의 미분함수의 값도 말해 줍니다 그리고 함수g(x)는 절대함수입니다 그리고 h(x)의 함수는 f(x)와 g(x)로 나타내어져 있습니다 우리가 궁금한 것은 주어진 h(x)의 미분에서 x=9일 때의 값은 무엇일까 입니다 먼저 비디오를 멈추고 제가 풀기 전에 스스로 한번 생각해 보길 권합니다 잠깐 생각해 봅시다 여기에 쓰여진 식 x=9에서의 미분함수 h(x)의 x=9의 값입니다 파란색이 필요합니다 이것은 h´과 같습니다 ´은 dx/d 를 의미합니다 h´(x)에서 x는 9이므로 실제로 h´(x)는 h´(9)입니다 이것을 다른 색으로 쓰겠습니다 이것은 h´(9)입니다 이것이 무엇인지 한번 생각해봅시다 양변의 식들을 x에 대해 미분하면 어떻게 되는지 알아보기 위해 미분해봅시다 미분을 하면, 똑같은 하얀색으로 해봅시다 h(x)를 x에 대해 미분하는 것은 x에 대해 이 식을 미분하는 것과 같습니다 실제로 여기 다시 한번 써 보겠습니다 f(x)를 3배하고 g(x)를 2배합니다 지금 여기 이 식은 두 식의 합의 미분과 각각의 식의 미분의 합과 똑같아집니다 3f(x)의 식을 x에 관해 미분하는 식이 될 것입니다 여기 좀 더 가까이 써 보겠습니다 3f(x)의 미분식에 2g(x)의 미분식을 더합니다 숫자의 미분 또는 계수와 함수의 곱입니다 계수와 함수의 곱의 미분은 계수와 함수의 미분과 똑같습니다 어떤 말일까요? 여기 첫번째 식은 3과 f(x)의 미분식을 곱하는 식과 같습니다 여기에 이 부분의 식은 여기 공간이 부족할 거 같습니다 이 식에 2와 g(x)의 미분식의 곱을 더해줍니다 x에 대해 g(x)를 미분합니다 x에 대한 h(x)의 미분식은 3과 x에 대한 f(x)식의 미분식의 곱에 2와 x에 관한 g(x)식의 미분식의 합입니다 여러분이 ´ 단위로 이 식을 쓰고 싶다면 h´(x)는 3f´(x) 여기 있는 이 식이 바로 3f´(x)과 같습니다 3f´(x)+2g´(x)의 식입니다 여기 이 식을 좀 더 정리해보면 두 식의 합의 미분은 미분들의 합이 됩니다 숫자와 어떤 것의 곱의 미분은 숫자와 어떤 것의 미분의 곱과 같습니다 이 식에서 여기로 바로 빠르게 할 수도 있습니다 이것이 흥미로운 이유는 지금 x가 9일 때의 함수를 구할 수 있습니다 h´(9)은 3f´(9)에 2g´(9)를 더하는 것과 같습니다 그럼 f´(9)는 무엇인가요? x가 9일 때 함수 f(x)의 값입니다 x가 9일 때 f(9)는 1이지만 더 중요한 것은 f´(9)은 3입니다 여기 이 식은 3입니다 g´(9)는 무엇일까요? 여기 이 함수식을 좀 더 살펴봅시다 여기 생각해 봐야 할 것들이 몇 가지 있습니다 실제로 여기 그래프를 그려 봅시다 흥미로울 거 같습니다 이것이 무엇인지 시각화를 해봅시다 이 축을 y라고 합시다 그리고 여기에 x축을 그립니다 여기 절대값 함수에서 언제가 최소값을 가질까요? 절대값 함수는 항상 음수는 없습니다 이 부분이 0이 될 때 이 함수는 최소값을 가집니다 언제 이 부분이 0이 될까요? x는 1일 때, 이 식은 0이 됩니다 x가 0일 때, 최소값이 되고 x는 1일 때, 이 항은 절대값 0이 됩니다 g(1)은 1입니다 여기 바로 이 점입니다 이 다음엔 어떻게 될까요? 1보다 큰 x에 대해서는 어떻게 될까요? 실제로 여기 한번 써 보겠습니다 g(x)는 일반적으로 절대값을 가질 때마다 이처럼 비교적 간단한 절대값 함수에서는 이것을 두개의 함수식으로 나누어 볼 수 있습니다 또는 이 식을 절대값이 음수가 아닐 경우와 절대값이 음수가 되는 경우로 다르게 생각해 볼 수도 있습니다 이 절대값이 음수가 아닐 때는 x가 1보다 크거나 또는 1일 경우입니다 절대값이 음수가 아닐 때 만약 음수가 아닌 수의 절대값을 구한다면 이것은 그 자체 값이 됩니다 0의 절대값은 0입니다 절대값 1은 1입니다 100의 절대값은 100입니다 그리고나서 x에 관한 절대값 함수에서 x가 0보다 크거나 같을 때 0보다 크거나 같을 때가 아니라 x가 1보다 크거나 같을 때입니다 x가 1보다 크거나 같을 때 여기 이 항은 음수가 아니다 이 식은 x–1이 됩니다 이것은 x–1+1이 됩니다 이것은 그냥 x와 같습니다 -1+1은 없어집니다 여기 이 식이 음수가 될 때는 x가 1보다 작은 수가 됩니다 그러면 절대값 함수는 이것과는 반대가 됩니다 음수의 절대값은 이것과 반대가 됩니다 음수8의 절대값은 양수8입니다 x–1의 음수인 이 식은 1-x+1입니다 또는 2-x로 나타낼 수 있습니다 x가 1보다 크거나 같을 때는 이 식을 봅시다 이 식의 기울기는 몇입니까? 기울기는 1입니다 이런 모양의 기울기를 가집니다 이렇게 생긴 선입니다 모든 x의 값은 1보다 크거나 같습니다 중요한 것은 g(x)에 대한 미분을 할 때 탄젠트의 기울기에 대해 생각해 봅시다 기울기는 1입니다 여기서 x가 1보다 작을 때 기울기는 여기를 보면 기울기는 -1입니다 이렇게 그립니다 이렇게 보이죠 여기서 질문은 g´(9)를 고려해보면 9는 여기 이쯤 있습니다 그럼 g´(9)의 값은 무엇일까요? g´(9)은 정확하게 말해봅시다 여기 이 그래프에서 이것은 g(x)의 그래프입니다 또는 y=g(x)입니다 y=g(x)입니다 g´(9)값은 무엇입니까? 이것은 x가 9일 때 기울기입니다 기울기는 1이 됩니다 g´(9)는 1입니다 이 값은 무엇일까요? 이 값은 3과 3의 곱입니다 그래서 이 값은 9가 되고 여기에 2와 1의 곱을 더하면 11이 됩니다 x가 9일 때 h의 탄젠트 기울기는 11이 됩니다