상대적 변화율: 그림자

한밤중에 부엉이와 같은 야행성 새가 식량을 위해서 낙하하고 있습니다 여기에 쥐 한마리가 있고 이 부엉이는 가로등 근처에서 수직 아래로 낙하하고 있습니다 이 상황에 대한 여러 가지 정보들을 알아보겠습니다 이 가로등은 높이가 20 feet 입니다 이 가로등은 높이가 20 feet 입니다 그리고 이 부엉이는 지금 현재 쥐로부터 15 feet 위에 있습니다 즉 이 거리가 15 feet 입니다 그리고 이 쥐는 가로등으로부터 10 feet 만큼 떨어져 있습니다 그리고 이 쥐는 가로등으로부터 10 feet 만큼 떨어져 있습니다 그리고 이 쥐는 가로등으로부터 10 feet 만큼 떨어져 있습니다 또한 이 부엉이는 쥐를 향해서 정확히 수직 아래 방향으로 낙하하고 있습니다 마지막으로 지금 현재 부엉이의 낙하 속도는 20 feet/s 입니다 여기서 중요한 것은 바로 옆에서 빛을 비추고 있다는 것입니다 빛은 가로등으로부터 모든 방향으로 나아가고 있습니다 그리고 이 빛은 부엉이의 그림자를 만들게 됩니다 지금 현재 부엉이의 그림자는 여기에 있고 부엉이가 점점 더 아래쪽으로 낙하함에 따라, 부엉이의 그림자는 점점 왼쪽으로 이동할 것입니다 이제 이 상황에 대한 모든 정보가 주어졌으니 그림자가 이동하는 속도를 구해보겠습니다 먼저 우리가 알고 있는 정보와 모르는 정보가 무엇인지 생각해 봅시다 그 전에 몇 가지 변수들을 정하기 위해서 이 그림을 조금 더 기하학적으로 그려보겠습니다 이 직선을 가로등이라고 하면 길이는 20 feet가 됩니다 그리고 15 feet 높이에는 부엉이가 있습니다 가로등의 맨 아래쪽과 부엉이의 수직 아래에 쥐가 있는 지점 사이의 거리는 10 feet 입니다 여기서 부엉이의 그림자의 위치는 부엉이에 의해서 가려지는 빛이 도달하는 지점이므로 이 점이 그림자의 위치가 됩니다 따라서 빛에서 시작하여 부엉이를 지나도록 직선을 그어주면 바닥과 만나는 점이 그림자의 위치가 됩니다 즉 이 점에 그림자가 생기게 되겠죠 즉 이 점에 그림자가 생기게 되겠죠 여기서 우리는 이 그림자가 이동하는 속도를 구해야 합니다 이 그림자는 왼쪽으로 이동하겠죠 이제 몇 가지 변수들을 지정해 보겠습니다 이 상황에서 무엇이 변할까요? 부엉이가 있는 높이가 변할 것이므로 그 높이를 y라고 합시다 지금 y는 15이지만 이는 계속 변할 것입니다 그리고 부엉이의 그림자와 쥐 사이의 거리를 x라고 합시다 이제 변수들을 정했으니 x와 y 사이의 관계를 구해보고 그 관계를 이용하여 우리가 최종적으로 구하고자 하는 시간에 대한 x의 변화율을 구해봅시다 우리는 지금 현재 y의 값과 dy/dt의 값을 알고 있습니다 이제 x와 y 사이의 관계를 구해보고 그것을 t에 대해서 미분하여 구해야 하는 값인 dx/dt를 구해봅시다 이 그림에서 두 개의 삼각형을 살펴봅시다 두 개의 삼각형을 살펴봅시다 초록색으로 그려진 이 작은 삼각형은 파란색으로 그려진 이 큰 삼각형과 닮았다는 것을 알 수 있습니다 어떻게 증명할 수 있을까요? 두 삼각형 모두 직각을 갖고 있으며 이 각을 공통으로 갖고 있습니다 두 개의 공통 각을 가지므로 삼각형의 세 내각의 크기가 모두 같을 것입니다 따라서 두 삼각형은 닮았다고 할 수 있고 그렇기 때문에 대응되는 변 사이의 길이의 비는 일정합니다 따라서 우리는 x와 y의 비는 큰 삼각형의 밑변의 길이인 x+10과 높이의 길이인 20의 비와 같다는 것을 알 수 있습니다 그리고 여기서 x와 y 사이의 관계를 구할 수 있습니다 구한 x와 y 사이의 관계식에서 양변을 t에 대하여 미분해주면 됩니다 양변을 t에 대해서 미분하기 전에 이 식을 더 간단히 하기 위해서 분모를 없애줍니다 분모를 없애줍니다 양변에 분모에 해당하는 20과 y를 곱해줍니다 20과 y를 곱해줍니다 좌변을 계산해주면 20x가 되고 20x가 되고 우변을 계산해주면 xy+10y가 됩니다 이제 양변을 시간 t에 대해서 미분해 봅시다 좌변을 보면 20에 x를 곱한 것을 t에 대해서 미분할 것입니다 먼저 20x를 x에 대해서 미분해보면 20이 됩니다 이는 20x를 x에 대해서 미분한 결과로 여기에 x를 t에 대해서 미분한 결과를 곱해주어야 합니다 여기에 x를 t에 대해서 미분한 결과를 곱해주어야 합니다 이제 우변을 계산해 봅시다 여기에서는 곱의 미분법을 활용해야 합니다 먼저 우리는 앞에 있는 문자인 x를 t에 대해서 미분한 결과인 dx/dt를 써주고 여기에 뒤에 있는 문자를 그대로 곱해주면 되므로 y를 곱하겠습니다 이제 x에 y를 미분한 값을 곱한 결과를 더해주면 됩니다 y를 t에 대해서 미분한 것은 dy/dt라 쓸 수 있으므로 결과는 이렇게 됩니다 이제 마지막으로 10y를 에 대해서 미분해 보겠습니다 10y를 먼저 y에 대해서 미분하면 10이 되고 여기에 y를 t에 대해서 미분한 결과인 dy/dt를 곱해주면 됩니다 이제 식의 양변을 미분하는 과정이 모두 끝났습니다 이 식을 통해서 dx/dt, dy/dt, 그리과 x와 y 사이의 관계를 알 수 있습니다 우리는 이 식을 통해서 dx/dt를 구하고자 하는데 우변에 dx/dt가 하나 더 있습니다 그러므로 이 식을 dx/dt에 대해서 정리하여 풀어야 합니다 우리는 y가 15라는 사실을 알고 있고 dy/dt도 알고 있습니다 y의 값은 시간이 지남에 따라 감소하므로 dy/dt는 -20이라고 할 수 있습니다 구한 식을 다시 한 번 살펴보면 우리는 dx/dt, y, dy/dt를 모두 알고 있으므로 x만 알면 이 식을 dx/dt에 대해서 풀 수 있습니다 그렇다면 지금 현재 x의 값은 얼마일까요? 우리는 처음에 구했던 식을 활용해서 x를 구할 수 있습니다 조금 더 쉽게 정리된 이 식을 이용해서 x를 구해봅시다 x를 구한 뒤에 그 값을 이 식에 대입해주면 됩니다 20x=xy+10y에서 지금 y의 값은 15이므로 이것을 식에 대입해주면 됩니다 좀 더 계산을 쉽게 하기 위해서 앞에서 이미 정리해 둔 이 식에 대입을 하겠습니다 y가 15이므로 xy는 15x가 되고 10 곱하기 y는 10 곱하기 15이므로 이를 더해주면 됩니다 10 곱하기 15이므로 이를 더해주면 됩니다 20x ＝ 15x＋15 × 10 이 식을 잘 정리해주면 20x=15x+150이 됩니다 양변에서 15x를 빼주면 5x는 150이라는 식을 얻을 수 있습니다 5x는 150이라는 식을 얻을 수 있습니다 5x=150 양변을 5로 나누어 주면 x=30을 얻을 수 있습니다 이 순간에 x는 30 feet인 것입니다 다시 그림으로 돌아가서 보면 이 거리가 바로 30 feet가 됩니다 이제 dx/dt를 구하기 위해서 구한 모든 값들을 이 식에 대입해 보겠습니다 먼저 좌변을 보면 20 곱하기 dx/dt가 되고 우리는 이 식을 dx/dt에 대해서 풀어야 하므로 dx/dt는 분홍색으로 적겠습니다 dx/dt는 분홍색으로 적겠습니다 우변을 보면 dx/dt 곱하기 y에서 y는 15이므로 dx/dt 곱하기 15가 됩니다 x는 30이므로 여기에 30 곱하기 dy/dt를 더해줍니다 dy/dt는 y가 시간이 지남에 따라 감소하기 때문에 -20 feet/s 이었습니다 따라서 dy/dt 대신에 -20을 대입해주면 이렇게 됩니다 여기에 10 곱하기 dy/dt를 더해야 하므로 10 곱하기 -20 을 더해주면 됩니다 이제 이 식을 dx/dt에 대해서 풀어보겠습니다 dx/dt와 관련된 항을 모두 좌변으로 모아주기 위해서 모두 좌변으로 모아주기 위해서 양변에서 15dx/dt를 빼주겠습니다 그러면 좌변은 5dx/dt가 되고 이제 우변을 게산해 주면 이 항은 -600이 되고 이 항은 -200이 되어 두 값을 더해준 결과는 -800이 됩니다 그리고 이 값의 단위는 feet/s가 되겠죠 이제 양변을 5로 나누어주면 5 곱하기 16이 80 이므로 우변은 -160 feet/s 가 됩니다 따라서 dt/dx=-160 feet/s 입니다 이 결과를 통해서 부엉이의 그림자는 매우 빠른 속도로 왼쪽 방향으로 이동하고 있음을 알 수 있습니다 그림자가 왼쪽으로 이동하면 x의 값이 감소하기 때문에 dx/dt가 음수로 나타난 것입니다 결론적으로 부엉이의 그림자는 꽤 빠른 속도로 왼쪽으로 이동하게 됩니다