상대적 변화율: 원뿔에 물 붓기

여기 매우 흥미로운 경우가 있습니다. 원뿔 모양의 컵은 높이가 4 cm이고 컵의 윗부분의 지름도 4 cm입니다 컵의 윗부분의 지름도 4 cm입니다 지금 컵에 물을 붓고 있습니다 1초당 1 cm³ 만큼을요 1초당 1 cm³ 만큼을요 그리고 지금 이 순간 컵에는 2 cm의 물이 담겨 있습니다 컵의 바닥에서부터 이 지점까지의 컵의 바닥에서부터 이 지점까지의 높이가 2 cm입니다 시간당 물이 컵으로 흘러 들어가는 속도가 시간당 물이 컵으로 흘러 들어가는 속도가 1초당 1 cm³라는 것을 알고 있는 상황에서 제가 드릴 질문은 제가 드릴 질문은 컵의 윗부분에 지름이 2 cm이고 2 cm 깊이의 물이 있는데 물의 높이가 달라지는 속도는 얼마일까요 물의 높이가 달라지는 속도는 얼마일까요 물의 높이가 달라지는 속도는 얼마일까요 높이가 2cm라는 것은 알고 있지만 얼마나 빨리 달라질까요 조금 생각해봅시다 우리에게 주어진 것은 우리에게 주어진 것은 물의 양이 시간에 따라 변하고 있다는 점입니다 여기 적어봅시다 물의 양이 시간에 따라 변하고 있고 물의 양이 시간에 따라 변하고 있고 이 양이 1초당 1cm³만큼 입니다 우리는 무엇을 알아내야 하는 것은 물의 높이가 시간에 따라 얼마나 빨리 변화하는지에 대한 것입니다 지금은 단지 높이가 2cm라는 것만 알고 있습니다 높이가 변하는 속도는 모르고 있죠 높이가 변하는 속도는 모르고 있죠 높이가 변하는 속도를 구하는 것이 우리가 본질적으로 질문에 답하는 것입니다 이것을 해결할 수 있는 방법은 어느 한 순간의 부피와 높이 사이의 관계를 생각해 내는 것 입니다 부피가 변화하는 속도와 높이가 변화하는 속도의 관계를 생각하여 부피가 변화하는 속도와 높이가 변화하는 속도의 관계를 생각하여 미분한 뒤 연쇄법칙을 사용하여 답을 끌어내야 할 것 입니다 답을 끌어내야 할 것 입니다 차근차근 시도해 봅시다 우선 어느 순간의 부피와 높이의 관계를 알 수 있을까요 우선 어느 순간의 부피와 높이의 관계를 알 수 있을까요 원뿔의 부피를 구하는 공식도 주어져 있습니다 원뿔의 부피를 구하는 공식도 주어져 있습니다 원뿔의 밑부분 면적의 1/3배에 높이를 곱한 것이죠 원뿔의 밑부분 면적의 1/3배에 높이를 곱한 것이죠 회전체에 대한 미적분으로 증명을 할 수 있지만 회전체에 대한 미적분으로 증명을 할 수 있지만 증명은 따로 하지 않겠습니다 증명은 따로 하지 않겠습니다 단지 믿고 사용해봅시다 공식을 통해 원뿔의 부피를 구할 수 있습니다 공식을 통해 원뿔의 부피를 구할 수 있습니다 원뿔의 높이를 부피를 이용해 나타낼 수 있을까요 원뿔의 높이를 부피를 이용해 나타낼 수 있을까요 물의 부피가 가장 신경써야 할 부분입니다 물의 부피가 가장 신경써야 할 부분입니다 물의 부피가 가장 신경써야 할 부분입니다 물의 부피는 물의 표면의 1/3배에 물의 부피는 물의 표면의 1/3배에 물의 높이인 h를 곱한 값일 것입니다 물의 높이인 h를 곱한 값일 것입니다 그렇다면 어떻게 물의 표면의 면적을 h로 나타낼 수 있을까요 그렇다면 어떻게 물의 표면의 면적을 h로 나타낼 수 있을까요 원뿔 밑바닥의 지름은 4cm입니다 원뿔 밑바닥의 지름은 4cm입니다 원뿔의 높이도 4cm입니다 같은 선상에 있기 때문에 이 비율은 물에서도 적용될 것입니다 이 비율은 물에서도 적용될 것입니다 지름과 높이 사이의 비율은 항상 같은 값을 갖습니다 지름과 높이 사이의 비율은 항상 같은 값을 갖습니다 그렇기 때문에 물에도 적용시킬 수 있습니다 그렇기 때문에 물에도 적용시킬 수 있습니다 물의 깊이를 h라고 한다면 물의 깊이를 h라고 한다면 물의 표면의 지름 또한 h가 될 것입니다 물의 표면의 지름 또한 h가 될 것입니다 물의 표면의 반지름은 h/2 입니다 물의 표면의 반지름은 h/2 입니다 물의 표면의 반지름은 h/2 입니다 물의 표면의 면적은 π2/h² 입니다 물의 표면의 면적은 π2/h² 입니다 물의 표면의 면적은 π2/h² 입니다 물의 표면의 면적을 알았습니다 1/3을 곱해주고 h를 곱해줍니다 1/3을 곱해주고 h를 곱해줍니다 식을 전개해서 간단하게 해보면 식을 전개해서 간단하게 해보면 부피는 πh³/12가 됩니다 부피는 πh³/12가 됩니다 이제 부피값을 사용해서 부피와 높이가 시간에 따라 얼마나 빠르게 변하는 지를 알아야 합니다 부피와 높이가 시간에 따라 얼마나 빠르게 변하는 지를 알아야 합니다 시간에 따른 변수에 관심이 있기 때문에 시간에 따른 변수에 관심이 있기 때문에 양변을 시간에 대하여 미분해 봅시다 양변을 시간에 대하여 미분해 봅시다 그전에 공간이 필요하므로 식을 조금 옆으로 옮겨봅시다 식을 조금 옆으로 옮겨봅시다 식을 오른쪽으로 옮긴 후에 양변을 시간에 대하여 미분해 봅시다 양변을 시간에 대하여 미분해 봅시다 부피를 시간에 대하여 미분해 주고 마찬가지로 우변도 시간에 대하여 미분해줍니다 부피의 도함수는 위에 있듯이 부피의 도함수는 위에 있듯이 dV/dt로 나타낼 수 있고 우변은 상수인 π/12를 바깥으로 빼준 후 우변은 상수인 π/12를 바깥으로 빼준 후 h³을 시간에 대하여 미분한 값을 곱해주면 됩니다 h³을 시간에 대하여 미분한 값을 곱해주면 됩니다 조금 분명하게 나타내기 위해서 조금 분명하게 나타내기 위해서 시간이 지날수록 계속해서 물을 붓고 있기 때문에 시간이 지날수록 계속해서 물을 붓고 있기 때문에 h를 시간에 대한 함수로 나타낼 수 있는 것이죠 h를 시간에 대한 함수로 나타낼 수 있는 것이죠 h³이라고 적는 대신에 h³이라고 적는 대신에 h(t)³라고 적겠습니다 h(t)³라고 적겠습니다 이제 t에 대해 미분한 h(t)³를 구해야 합니다 이제 t에 대해 미분한 h(t)³를 구해야 합니다 아마 이쯤에서 연쇄법칙을 사용하고 싶은 느낌이 들 것입니다 아마 이쯤에서 연쇄법칙을 사용하고 싶은 느낌이 들 것입니다 연쇄법칙을 생각해봅시다 아래에 적어보자면 dV/dt는 π/12와 t에 대해 미분한 h(t)³의 곱과 같습니다 dV/dt는 π/12와 t에 대해 미분한 h(t)³의 곱과 같습니다 t에 대해 미분할 때 h(t)에 세제곱이 되어 있으므로 t에 대하여 h(t)³을 미분해야 할 것입니다 그 값을 주황색으로 적어보자면 3과 h(t)²을 곱한 후에 h(t)를 t에 대해 미분한 값인 dh/dt를 곱해줍니다 h(t)를 t에 대해 미분한 값인 dh/dt를 곱해줍니다 식이 간단해졌습니다 주황색의 식에 연쇄법칙을 적용하면 주황색의 식에 연쇄법칙을 적용하면 d(h(t)³)/d(h(t))가 되고 d(h(t))/dt를 곱해줍니다 d(h(t))/dt를 곱해줍니다 이 식의 전체는 h(t)³을 t에 대해 미분한 식을 나타냅니다 h(t)³을 t에 대해 미분한 식을 나타냅니다 약분해주면 d(h(t)³)/dt가 됩니다 d(h(t)³)/dt가 됩니다 이 식을 이용해 처음 질문에 답할 수 있습니다 물의 높이는 매시간 얼마나 빠르게 변화할까요 물의 높이는 매시간 얼마나 빠르게 변화할까요 깔끔하게 나타내기 위해서 지금까지 한 것을 다시 적어 보겠습니다 지금까지 한 것을 다시 적어 보겠습니다 dV(부피)는 시간에 대해서 변화하고 있습니다 dV(부피)는 시간에 대해서 변화하고 있습니다 그 변화량은 π/12에 3(h(t)²) 대신 3h²라고 써준다면 3h²을 곱해주고 시간에 대한 높이 변화량인 dh/dt를 곱해준 값과 같습니다 πh³/12를 높이에 대하여 미분하고 싶은 유혹을 느끼게 되어 혼란스러울 수도 있습니다 유혹을 느끼게 되어 혼란스러울 수도 있습니다 하지만 기억하십시오 우리는 시간에 대한 변화율을 구하고 있습니다 부피를 함수 h로 나타내었지만 함수 h는 시간에 대한 함수입니다 함수 h는 시간에 대한 함수입니다 우변 전체를 시간에 대하여 미분해야 하기 때문에 우변 전체를 시간에 대하여 미분해야 하기 때문에 연쇄법칙을 사용해야 합니다 h, 즉 h(t)를 미분해야 하는데 h(t)를 t에 대한 함수라고 가정했기 때문이죠 h(t)를 t에 대한 함수라고 가정했기 때문이죠 이 식이 의미하는 바는 무엇일까요 처음에 문제를 설정할 때 처음에 문제를 설정할 때 dV/dt의 값을 알고 있었습니다 dV/dt의 값을 알고 있었습니다 바로 1cm³/s 입니다 h, 즉 높이는 2cm입니다 h, 즉 높이는 2cm입니다 우리가 모르는 단 한 가지의 값은 시간에 따라 변하는 높이입니다 시간에 따라 변하는 높이입니다 처음에 구하고자 했던 것이죠 처음에 구하고자 했던 것이죠 그럼 이제 문제를 해결했습니다 식을 전개해 보자면 좌변인 1cm³/s는 단위는 따로 쓰지 않겠습니다 π/2와 위에 적은 색깔과 같은 색깔로 적겠습니다 위에 적은 색깔과 같은 색깔로 적겠습니다 π/2와 3h²를 곱한 값과 같습니다 단위를 생략한다면 h는 2이므로 단위를 생략한다면 h는 2이므로 3×4가 됩니다 지금까지 π/12를 π/2로 잘못 적었었네요 지금까지 π/12를 π/2로 잘못 적었었네요 π/12로 다시 써주면 1=12/π×3×2²×dh/dt가 됩니다 1=12/π×3×2²×dh/dt가 됩니다 색깔을 바꿔 적겠습니다 위의 식을 약분해 주면 위의 식을 약분해 주면 1=π×dh/dt가 되므로 양변을 π로 나눠주면 드디어 답을 구했습니다 물 표면이 지름이 2 cm일때 1초에 1 cm³/s의 물을 붓는다면 높이가 시간에 따라 변화하는 속도는 높이가 시간에 따라 변화하는 속도는 높이가 시간에 대해 변하는 속도는 1/π입니다 1/π입니다 단위를 붙여준다면 cm/s가 될것입니다 계산 과정에 단위를 붙이고 싶다면 붙여도 됩니다 자 그럼 이제 끝났습니다 정확히 어떤 순간에서 정확히 어떤 순간에서 높이가 변할 때의 순간 속도를 알아냈습니다 높이가 변할 때의 순간 속도를 알아냈습니다