상대적 변화율: 풍선

당신은 열기구 쇼를 보고 있습니다 그러다 하나의 열기구가 얼마나 빠르게 올라가는지 궁금해졌습니다 그리고 당신은 처분할 수 있는 정보가 있습니다 열기구 바로 아래 위치를 알고 있습니다 열기구 바로 아래 위치를 알고 있습니다 수선을 내려 점을 찍읍시다 수선을 내려 점을 찍읍시다 그리고 당신은 이 지점에서 500m 떨어져 서있습니다 500m 떨어져 서있습니다 또한 당신은 수평선과 열기구 사이의 각을 알고 있습니다 당신이라면 직접 잴 수 있을지 몰라도 저는 좋은 측량사가 아니라 정확한 값을 측정할 수 없습니다 그래서 당신은 수평선과 수평선 위에 있지 않은 것 그래서 당신은 수평선과 수평선 위에 있지 않은 것 사이의 각을 도구로 측정할 수 있습니다 사이의 각을 도구로 측정할 수 있습니다 그래서 당신은 이 사이 각이 π/4 rad 또는 45도임을 알고 있습니다 미분을 하기 위해 π/4로 적겠습니다 라디안 단위를 다루고 있습니다 따라서 이 각은 π/4입니다 또한 당신은 이 각의 변화율을 측정할 수 있습니다 0.2 rad/min로 변화합니다 이제 문제를 말하겠습니다 열기구는 지금 상태에서 얼마나 빠르게 떠오르고 있을까요? 당신과 열기구를 이은 선과 수평선 사이의 각이 당신과 열기구를 이은 선과 수평선 사이의 각이 π/4 rad이고 그 각이 0.2 rad/min로 변할 때 얼마나 빠르게 떠오르고 있을까요? 이제 우리가 무엇을 알고 알아내려고 하는 것이 무엇인지 생각해봅시다 우리는 몇 가지를 알고 있습니다 저 각을 θ라 하면 θ는 π/4 임을 알고 있습니다 이 각이 θ 입니다 각의 변화율 또한 알고 있죠 각의 변화율 또한 알고 있죠 노란색으로 적겠습니다 우리는 dθ/dt 가 0.2 rad/min 임을 알고 있습니다 그래서 우리가 알아내려고 하는 것이 무엇인가요? 우리는 풍선의 높이 변화율을 구하려고 합니다 우리는 풍선의 높이 변화율을 구하려고 합니다 따라서 이 높이를 h라 하면 우리가 알아내려고 하는 것은 dh/dt 입니다 우리가 모르고 있는 값이죠 따라서 우리가 구하고 싶은 것은 dh/dt, dθ/dt 및 어쩌면 θ 사이의 관계입니다 만약 필요하다면요 또는 다른 방법으로 접근하면 h와 θ 사이의 관계를 구할 수 있다면 t로 미분할 수 있습니다 그러면 모든 이들 사이의 관계를 알 수 있죠 그러면 모든 이들 사이의 관계를 알 수 있죠 h와 θ 사이의 관계는 무엇일까요? 약간의 삼각법을 사용해야 합니다 우리는 h를 구하려는 것을 알고 있고 이 변의 길이를 이미 알고 있습니다 우리는 대변 나누기 밑변의 값을 알고 있습니다 그건 tan의 정의입니다 그럼 적어보겠습니다 우리는 tan θ 가 길이가 h인 대변을 길이가 500으로 고정된 밑변으로 나눈 값과 동일하다는 것을 알고 있습니다 여기서 h와 θ 의 관계를 구할 수 있죠 그리고 t에 따른 θ의 변화율인 dθ/dt와 그리고 t에 따른 θ의 변화율인 dθ/dt 와 t에 따른 h의 변화율인 dh/dt 를 구하기 위해 이 식의 양변을 t에 대해 미분하겠습니다 t에 대해 미분하겠습니다 이 식을 조금 옆으로 옮기겠습니다 이 식을 조금 옆으로 옮기겠습니다 이 식을 조금 옆으로 옮기겠습니다 이렇게 적겠습니다 이제 t에 대해 미분해봅시다 그러니까 d/dt 좌변을 t에 대해 미분할 것이고 우변을 t에 대해 미분할 것입니다 우변을 t에 대해 미분할 것입니다 tan θ를 t에 대해 미분하면 무엇이 될까요? 여기서 연쇄 법칙을 쓸 것입니다 첫번째로 tan θ를 미분하면 sec² θ가 됩니다 tan θ를 미분하면 sec² θ가 됩니다 그런 다음 θ를 t에 대해 미분한 dθ/dt 를 곱하면 됩니다 다시 써보면 tan θ를 θ에 대해 미분한 값과 θ를 t에 대해 미분한 값을 곱한 것입니다 θ를 t에 대해 미분한 값을 곱한 것입니다 tan θ를 θ에 대해 미분하고 θ를 t에 대해 미분하여 곱하면 tan θ를 t에 대해 미분한 값을 구할 수 있습니다 미분연산자의 일종이죠 우리는 θ에 대해 미분하는게 아니라 t에 대해 미분하고 있습니다 t에 대해 미분하고 있습니다 지금까지 좌변을 계산했고 이제 우변을 계산해봅시다 우변은 1/500 dh/dt 가 됩니다 우변은 1/500 dh/dt 가 됩니다 말 그대로 1/500 곱하기 dh/dt 입니다 하지만 이제 관계를 알았습니다 우리가 실제로 다룰 관계를 알고 있습니다 시간에 따른 높이 변화율과 시간에 따른 각 변화율 사이의 관계와 시간에 따른 각 변화율 사이의 관계와 어떤 순간에서의 각도를 알고 있습니다 이제 이 위의 값들을 식에 대입해서 문제를 풀 수 있습니다 이제 해봅시다 이제 해봅시다 sec² θ를 구해보면 sec² θ를 구해보면 우선 θ에 π/4를 대입합시다 sec² π/4 이 값들을 대입한다는 것을 보여주기 위해 이 색깔로 적겠습니다 sec² π/4 d/dt = 0.2이죠 d/dt = 0.2이죠 따라서 0.2를 곱해줍니다 이 값은 1/500이 되죠 확실하게 하기 위해서 이 식의 단위는 rad/min 인데 m/min 을 구해야 합니다 그리고 여기에 m가 있습니다 그러면 m/min 단위를 맞출 수 있죠 단위를 확실히 하기 위해서입니다 공간을 아끼기 위해 단위를 안 적었기 때문이죠 하지만 우리는 1/500 dh/dt 의 값을 구했습니다 따라서 dh/dt 에 대해 풀고 싶다면 양변에 500을 곱해줍니다 그럼 높이 변화율이 500 곱하기 sec² π/4 임을 알 수 있습니다 그것은 1/cos² π/4 입니다 다시 한 번 적어보겠습니다 cos π/4 = √2 /2 입니다 cos² π/4 = 2/4 일 것이고 1/2과 같은 값이 될 것입니다 따라서 sec² π/4 = 2 입니다 따라서 sec² π/4 = 2 입니다 따라서 이 식을 다시 적어보면 sec² π/4 대신 이 부분은 지우고 sec² π/4 대신 2를 써줍시다 sec² π/4 대신 2를 써줍시다 따라서 곱하기 2 곱하기 0.2 가 됩니다 계산하면 뭐가 나오나요? 500 x 0.4 가 되죠 따라서 500 x 0.4 를 하면 따라서 500 x 0.4 를 하면 따라서 500 x 0.4 를 하면 2000에 0 하나가 소숫점 뒤에 있게 됩니다 네 200이 나옵니다 따라서 이 순간의 높이 변화율은 200 m/min 이 됩니다 dh/dt = 200 m/min 인거죠