상대적 변화율 문제 풀기: 삼각방정식

20m짜리 사다리가 벽에 기대어져 있습니다 사다리의 아래와 벽 사이의 거리 x(t)는 3m/분의 변화율로 증가하고 있습니다 3m/분의 변화율로 증가하고 있습니다 어떤 순간 t_0에 사다리의 위와 바닥 간의 거리 y(t)는 15m입니다 그 순간에 사다리와 바닥이 이루는 각도 θ(t)의 변화율은 무엇일까요? θ(t)의 변화율은 무엇일까요? 이것을 그려보도록 하겠습니다 첫 번째로 할 것은 어떤 방정식이 문제를 푸는 데 도움이 될지 생각해 보는 것입니다 그리고 나서 문제를 풀기 시작하겠죠 그리고 나서 문제를 풀기 시작하겠죠 20m 사다리가 벽에 기대어져 있습니다 여기 벽을 그려보겠습니다 여기 벽을 그려보겠습니다 이제 20m 사다리를 그립니다 여기 벽을 그려보겠습니다 20m입니다 20m입니다 거리 x(t)는 사다리의 밑과 벽 간의 거리입니다 거리 x(t)는 사다리의 밑과 벽 간의 거리입니다 이 거리이죠 이 거리가 이 거리가 x(t)입니다 이것은 3m/분의 변화율로 증가하고 있다고 합니다 이것은 3m/분의 변화율로 증가하고 있다고 합니다 따라서 x'(t)는 dx/dt와 같고 dx/dt와 같고 3m/분입니다 3m/분입니다 3m/분입니다 3m/분입니다 이 정보는 주어져 있네요 시간에 대한 x의 변화율은 주어져 있습니다 시간에 대한 x의 변화율은 주어져 있습니다 어떤 순간 t_0에 사다리 위의 거리는 15m라고 합니다 사다리 위의 거리는 15m라고 합니다 확실하게 합시다 이 거리가 이 거리가 이 거리가 y(t)입니다 y(t)입니다 t가 t_0일 때 y(t)는 15m라고 합니다 y(t_0) = 15m입니다 y(t_0) = 15m입니다 여기 적어보겠습니다 이것이 y(t_0)입니다 t_0의 순간을 그린다고 가정합시다 아마 중요한 순간일 것이니까요 아마 중요한 순간일 것이니까요 y(t_0) = 15m입니다 y(t_0) = 15m입니다 구하고자 하는 것은 사다리와 바닥의 각도 θ의 변화율입니다 또한 θ도 시간에 따라 변화합니다 또한 θ도 시간에 따라 변화합니다 시간에 대한 함수가 되는 것이죠 시간에 대한 함수가 되는 것이죠 따라서 θ는 이 각도입니다 그리고 이 또한 시간에 대한 함수입니다 항상 이런 변화율 문제에서는 방정식을 세워야 합니다 삼각볍이 약간 들어간 대수학 방정식말입니다 삼각볍이 약간 들어간 대수학 방정식말입니다 거기에는 구하고자 하는 것과 관련이 있어야 하고 연관된 변화율을 구하기 위해서는 양변의 도함수를 구해야 할 것입니다 양변의 도함수를 구해야 할 것입니다 봅시다 알고자 하는 것은 이 순간 사다리와 바닥의 각도의 변화율입니다 이 순간 사다리와 바닥의 각도의 변화율입니다 이 순간 사다리와 바닥의 각도의 변화율입니다 θ'(t_0)을 구해야 하는 것입니다 θ'(t_0)을 구해야 하는 것입니다 이것을 구해야 하는데 흥미로운 것들이 주어져 있습니다 시간에 대한 x의 변화율은 상수로 시간에 대한 x의 변화율은 상수로 3m/분으로 되어 있습니다 그리고 이 순간 y가 무엇인지도 압니다 그러면 이 관계를 찾을 수 있을까요? dx/dt도 주어졌으니 x와 θ의 관계를 찾는 것이 더 유용할 것이고 x와 θ의 관계를 찾는 것이 더 유용할 것이고 그런 후 양변의 도함수를 구하면 됩니다 그리고 이 정보를 사용해 그 순간 알맞은 x나 θ의 값이 무엇인지 찾을 수 있을 것입니다 무엇인지 찾을 수 있을 것입니다 그렇게 해 봅시다 x는 어떻게 θ와 연관되어 있을까요? 삼각법을 사용할 수 있습니다 삼각법을 사용할 수 있습니다 빗변에 cos(θ)를 곱하면 빗변에 cos(θ)를 곱하면 x를 얻게 됩니다 여기 적어보겠습니다 x(t)는 x(t)는 사다리의 길이인 빗변 20m에 사다리의 길이인 빗변 20m에 cos(θ)를 곱한 값입니다 cos(θ)를 곱한 값입니다 cos(θ(t))라 적어 시간에 대한 함수임을 확실히 합니다 시간에 대한 함수임을 확실히 합니다 이건 삼각법에서 나온 것입니다 아주 기본적인 삼각함수의 정의에서 나온 것이죠 아주 기본적인 삼각함수의 정의에서 나온 것이죠 왜 이게 유용할까요? 연쇄법칙을 이용해 양변의 도함수를 구하면 어떻게 되는지 봅시다 왼쪽에는 x'(t)가 생깁니다 왼쪽에는 x'(t)가 생깁니다 오른쪽은 어떻게 될까요? 오른쪽은 어떻게 될까요? 연쇄법칙을 사용하면 먼저 θ에 대한 도함수를 구합니다 그건 -20sin(θ(t))고 그건 -20sin(θ(t))고 그건 -20sin(θ(t))고 그건 -20sin(θ(t))고 이걸 θ'(t)로 곱해야 합니다 이걸 θ'(t)로 곱해야 합니다 이렇게 할 수 있습니다 t_0일 때 x'(t)가 무엇인지 알고 있고 sin(θ(t))를 구한다면 이것도 구할 수 있습니다 이것도 구할 수 있습니다 해 봅시다 t_0일 때 그러니까 t = t_0에 그러니까 t = t_0에 x'(t)는 언제나 3m/분이고 x'(t)는 언제나 3m/분이고 변화율은 m/분이며 거리는 m으로 거리는 m으로 각도는 라디안을 사용하겠습니다 따라서 이것은 3이고 이는 무엇과 같냐면 따라서 이것은 3이고 이는 무엇과 같냐면 -20과 sin(θ(t))와 θ'(t)의 시간에 대한 도함수를 모두 곱한 것과 같습니다 sin(θ(t))는 어떻게 구할까요? sin(θ(t))는 어떻게 구할까요? 주어진 다른 정보를 사용해 봅시다 밑으로 내려가 공간을 확보해 놓겠습니다 밑으로 내려가 공간을 확보해 놓겠습니다 sin(θ(t_0))은 sin(θ(t_0))은 sin(θ(t_0))은 이게 구하고자 하는 것입니다 t = t_0일 때요 얼마일까요? sin은 대변/빗변입니다 따라서 y(t_0)을 빗변인 20m로 나눈 것입니다 따라서 y(t_0)을 빗변인 20m로 나눈 것입니다 따라서 y(t_0)을 빗변인 20m로 나눈 것입니다 따라서 y(t_0)을 빗변인 20m로 나눈 것입니다 이는 무엇과 같냐면 이미 주어졌습니다 y(t_0)은 15m/20m입니다 y(t_0)은 15m/20m입니다 3/4과 같죠 이 노란색 정보가 이것이 3/4이라고 말하고 있는 것입니다 이것이 3/4이라고 말하고 있는 것입니다 따라서 3/4을 곱해 주고 θ의 t에 대한 변화율도 곱해 줍니다 θ의 t에 대한 변화율도 곱해 줍니다 θ의 t에 대한 변화율도 곱해 줍니다 이제 이것에 대해 풀기만 하면 끝입니다 그러면 -20 ᐧ 3/4은 무엇일까요? 그러면 -20 ᐧ 3/4은 무엇일까요? -15입니다 -15입니다 양변을 -15로 나누면 양변을 -15로 나누면 θ'(t) = 3/-15이 됩니다 θ'(t) = 3/-15이 됩니다 θ'(t) = 3/-15이 됩니다 이는 -1/5과 같죠 이는 -1/5과 같죠 단위는 라디안/분입니다 단위는 라디안/분입니다 변화율은 모두 분 단위이기 때문입니다 따라서 라디안/분입니다 따라서 라디안/분입니다 따라서 라디안/분입니다 따라서 라디안/분입니다 따라서 라디안/분입니다 다 했습니다 흥미로운 문제였습니다 y에 대한 정보가 주어졌지만 그 정보를 이용해 sin(θ(t))를 구해야 했습니다 그 정보를 이용해 sin(θ(t))를 구해야 했습니다 하지만 구한 방정식은 x와 θ에 대한 것이었죠