상대적 변화율 문제 풀기: 식

삼각형의 밑변 b(t)는 13m/h의 변화율로 감소하고 있습니다 그리고 삼각형의 높이 b(t)는 6m/h의 변화율로 증가하고 있습니다 어떤 순간 t_0에 밑변은 5m이고 높이는 1m입니다 넓이의 변화율 A(t)는 t에 대한 함수이고 그 순간 삼각형 넓이의 변화율은 얼마일까요? 그 순간 삼각형 넓이의 변화율은 얼마일까요? 이 연습 문제에서는 바로 풀어보기 보다 여러 방정식의 단위를 구분해서 어떤 정보가 주어져 있고 주어져 있지 않은지 생각해 보는 것입니다 그러면 이 변화율 문제를 풀 준비가 된 것입니다 그러면 이 변화율 문제를 풀 준비가 된 것입니다 첫 번째를 해 보죠 각 방정식에 단위를 부여해 봅시다 항상 그렇듯 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 좋습니다 첫 번째는 b'(t)입니다 이것은 시간에 대한 밑변의 변화율입니다 이것은 시간에 대한 밑변의 변화율입니다 b(t)를 생각해보면 이것은 밑변입니다 단위는 m이죠 단위는 m이죠 b'(t)라고 하면 시간에 따라 밑변이 얼마나 변하는지를 나타냅니다 시간에 따라 밑변이 얼마나 변하는지를 나타냅니다 시간에 따라 밑변이 얼마나 변하는지를 나타냅니다 여기 주어져 있습니다 13m/h의 변화율로 감소한다고 했습니다 따라서 단위는 m/h입니다 b'(t)는 m/h입니다 A(t_0)이 있습니다 A(t_0)이 있습니다 A는 삼각형의 넓이라는 것을 기억하세요 모든 것을 미터로 구하고 있습니다 주어진 정보를 보면 그렇습니다 따라서 넓이는 단위의 제곱입니다 m²이죠 이제 t_0일 때의 높이입니다 밑변과 높이 모두 길이입니다 m으로 측정했죠 따라서 h(t_0)도 m입니다 따라서 h(t_0)도 m입니다 이제 시간에 대한 넓이의 변화율입니다 이제 시간에 대한 넓이의 변화율입니다 넓이는 이미 m²임을 알고 있습니다 알고자 하는 것은 시간에 대한 넓이의 변화율입니다 시간에 대한 넓이의 변화율입니다 따라서 넓이의 양/시간입니다 여기서 시간은 보시다시피 h를 사용합니다 주어진 정보를 보면 그렇습니다 따라서 이것은 넓이/시간 혹은 m²/h입니다 이것입니다 넓이/시간입니다 길이는 m을 사용하고 시간은 h를 사용합니다 좋습니다 이제 각 방정식을 주어진 값과 연결하라 합니다 t_0일 때 삼각형의 밑변은 얼마일까요? t_0일 때 삼각형의 밑변은 얼마일까요? t_0일 때 삼각형의 밑변은 얼마일까요? 주어져 있는 사실인가요? 봅시다 어떤 시간의 순간인 t_0에 어떤 시간의 순간인 t_0에 다른 색으로 하겠습니다 어떤 순간인 t_0에 어떤 순간인 t_0에 밑변은 5m라고 합니다 따라서 시간 t가 t_0일 때 밑변은 밑변은 시간에 대한 함수입니다 하지만 5m라고 주어져 있습니다 따라서 이건 5m입니다 그러면 시간에 대한 밑변의 변화율은 어떨까요? 그러면 시간에 대한 밑변의 변화율은 어떨까요? 주어져 있나요? 여기를 봅시다 사실 이것은 처음 주어진 정보입니다 삼각형의 밑변 b(t)는 13m/h의 변화율로 감소하고 있습니다 따라서 밑변의 변화율인 b'(t)는 따라서 밑변의 변화율인 b'(t)는 db/dt와 같고 13m/h의 변화율로 감소하고 있다고 말해주었습니다 13m/h의 변화율로 감소하고 있다고 말해주었습니다 이는 -13m/h입니다 따라서 시간에 대한 밑변의 변화율은 -13입니다 주어진 정보죠 이제 A'(t_0)은 t_0일 때 시간에 대한 넓이의 변화율입니다 이제 A'(t_0)은 t_0일 때 시간에 대한 넓이의 변화율입니다 주어진 정보인가요? 물어보긴 했습니다 그 순간 삼각형 넓이의 변화율은 얼마냐고요 그 순간 삼각형 넓이의 변화율은 얼마냐고요 따라서 이건 구해야 합니다 주어지지 않았습니다 아니면 풀 문제가 없을 것입니다 따라서 주어지지 않았습니다 사실 풀어야 하는 문제죠 그리고 마지막으로 시간에 대한 높이의 일계도함수입니다 dh/dt라고 볼 수 있습니다 무엇일까요? 주어졌나요? 여기를 봅시다 삼각형의 높이는 6m/h의 변화율로 증가하고 있습니다 h(t)가 증가하고 있다고 하면 시간에 대한 h(t)의 변화율을 알려주는 것입니다 시간에 대한 h(t)의 변화율을 알려주는 것입니다 h'(t)와 같습니다 그리고 그것이 6m/h로 증가하고 있다고 했으니 그리고 그것이 6m/h로 증가하고 있다고 했으니 6m/h입니다 주어진 정보였습니다 왜 이게 유용한 연습이었을까요? 이제 정말 문제를 풀 준비가 되었습니다 왜냐하면 일반적으로 삼각형을 다룰 때 넓이는 1/2와 밑변과 높이를 곱한 것임을 압니다 넓이는 1/2와 밑변과 높이를 곱한 것임을 압니다 이 상황에서 넓이와 밑변, 높이는 모두 t에 대한 함수입니다 따라서 A(t) = 1/2 ᐧ b(t) ᐧ h(t)로 쓸 수 있습니다 따라서 A(t) = 1/2 ᐧ b(t) ᐧ h(t)로 쓸 수 있습니다 따라서 A(t) = 1/2 ᐧ b(t) ᐧ h(t)로 쓸 수 있습니다 이 순간 넓이의 변화율을 찾고자 한다면 이 순간 넓이의 변화율을 찾고자 한다면 이 순간은 t가 t_0일 때를 의미하고 이 순간은 t가 t_0일 때를 의미하고 양변의 t에 대한 도함수를 구해야 합니다 양변의 t에 대한 도함수를 구해야 합니다 왼쪽의 t에 대한 도함수는 A'(t)고 오른쪽은 1/2 다음에 멱의 법칙을 이용해야 합니다 멱의 법칙을 이용해야 합니다 첫 함수의 t에 대한 도함수는 먼저 b'(t)h(t)에 이건 멱의 법칙을 사용한 것입니다 첫 함수 b(t)와 시간에 대한 두 번째 함수의 도함수를 곱한 후 더해줍니다 시간에 대한 두 번째 함수의 도함수를 곱한 후 더해줍니다 그리고 일반적인 방정식을 구하는 것 뿐만 아니라 t_0일 때 넓이의 변화율 그러니까 그 순간의 A'(t)도 구해야 합니다 A'(t_0)을 구해야 합니다 A'(t_0)을 구해야 합니다 1/2(b'(t_0)h(t_0) + b(t_0)h'(t_0))입니다 1/2(b'(t_0)h(t_0) + b(t_0)h'(t_0))입니다 1/2(b'(t_0)h(t_0) + b(t_0)h'(t_0))입니다 1/2(b'(t_0)h(t_0) + b(t_0)h'(t_0))입니다 벅차게 느껴질 수 있지만 여기의 많은 것들이 이미 주어져 있습니다 b'(t_0)는 무엇일까요? b'(t_0)는 무엇일까요? 이는 시간에 대한 b의 변화율입니다 이는 시간에 대한 b의 변화율입니다 13m/h가 유지됩니다 13m/h가 유지됩니다 이건 주어진 정보이고 t_0일 때 높이는 무엇일까요? 여기에서 말해줍니다 어떤 순간에 밑변은 5m 높이는 1m라고 했습니다 b(t_0)와 h(t_0)가 모두 주어진 것이죠 이것과 이것입니다 t_0에 높이의 변화율은 무엇일까요? t_0에 높이의 변화율은 무엇일까요? 이것도 주어졌습니다 삼각형의 높이는 6m/h로 증가하고 있습니다 삼각형의 높이는 6m/h로 증가하고 있습니다 이것도 주어졌습니다 이 모든 것이 주어졌고 대입을 하기만 하면 t_0의 순간에 넓이의 변화율을 구할 수 있습니다 t_0의 순간에 넓이의 변화율을 구할 수 있습니다