상대적 변화율 문제 풀기: 피타고라스 방정식

차 두 대가 서로 직각의 방향으로 교차로를 향해 달리고 있습니다 첫 차의 속도는 50 km/h이고 두 번째 차의 속도는 90 km/h입니다 어느 순간인 t_0에 첫 번째 차의 거리 x(t_0)는 교차로에서 0.5km 떨어져 있으며 교차로에서 0.5km 떨어져 있으며 첫 번째 차의 거리 y(t_0)는 교차로에서 1.2km 떨어져 있습니다 그 순간 두 차 사이 거리의 변화율은 얼마일까요? 그 순간 두 차 사이 거리의 변화율은 얼마일까요? 순간은 t_0을 말합니다 어떤 방정식을 사용해 문제를 풀어야 할까요? 여기 네 가지 보기가 주어져 있습니다 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 곧 같이 해보겠습니다 일어나고 있는 일을 그림으로 그려봅시다 그림은 항상 도움이 됩니다 차 두 대가 서로 직각의 방향으로 교차로를 향해 달리고 있습니다 차 한대가 여기 있고 교차로를 향해 x 방향으로 움직인다 합시다 이쪽으로요 그리고 다른 차는 y 방향으로 움직입니다 이렇게 움직입니다 다른 차는 여기 있습니다 위에서 본 것처럼 그릴 걸 그랬습니다 그림은 이렇습니다 이 네모가 차고 이 방향으로 움직입니다 어떤 순간인 t_0을 말하고 있으니 그 순간을 그려봅시다 첫 번째 차의 거리 x(t_0)은 0.5km입니다 이 거리입니다 이것을 x(t)라 하고 이 거리를 y(t)라 합니다 그러면 차 간의 거리가 어떻게 x(t)와 y(t)에 연관되어 있을까요? 피타고라스의 정리인 거리 공식을 사용할 수 있습니다 피타고라스의 정리인 거리 공식을 사용할 수 있습니다 차 사이의 거리는 이 직각삼각형의 빗변이라고 할 수 있습니다 서로 직각의 방향으로 움직인다는 것을 기억하세요 이건 직각삼각형입니다 따라서 이 거리는 √((x(t))² + (y(t))²)으로 피타고라스의 정리입니다 이것을 d(t)라 할 수도 있고 (d(t))² = (x(t))² + (y(t))²이라 할 수도 있습니다 (d(t))² = (x(t))² + (y(t))²이라 할 수도 있습니다 (d(t))² = (x(t))² + (y(t))²이라 할 수도 있습니다 d(t), x(t), y(t)의 관계는 그렇고 d(t), x(t), y(t)의 관계는 그렇고 이 문제를 푸는 데 유용합니다 이제 양변의 t에 대한 도함수를 구할 수 있기 때문입니다 그럴때 연쇄법칙 같은 여러 도함수 공식을 사용할 것이고 그로서 d(t)의 변화율의 관계를 얻을 수 있습니다 그로서 d(t)의 변화율의 관계를 얻을 수 있습니다 이는 d'(t)와 x(t), y(t)의 변화율 그리고 x(t), y(t) 자체의 관계입니다 여기 보기를 보면 d가 정확히 방금 구한 관계를 나타냅니다 d가 정확히 방금 구한 관계를 나타냅니다 차 사이의 거리의 제곱이 차 사이의 거리의 제곱이 교차로부터의 x 거리의 제곱과 교차로부터의 y 거리의 제곱과 같다는 것을 보여주며 양변의 도함수를 구하여 정확한 변화율을 구할 수 있습니다