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미분학

코스: 미분학 > 단원 4

단원 4: 상대적 변화율이란?
수학
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상대적 변화율이란?
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상대적 변화율을 포함한 문제 풀기

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상대적 변화율 문제는 주어진 변화율을 가지고 다른 상대적 변화율을 구하는 문제입니다. 이러한 유형의 문제에 익숙해집시다.
관련된 비율 문제는 한 양이 다른 양과 연관되어 변화하고, 알려진 비율을 구하는 경우에 적용되는 문제들입니다

관련된 비율 문제에 대한 예시

다음 문제가 주어져 있습니다:
한 원의 반지름 r, left parenthesis, t, right parenthesis는 초당 3cm의 비율로 증가합니다. 특정한 순간인 t, start subscript, 0, end subscript에서, 반지름은 8cm입니다.
그 순간에 원의 넓이 A, left parenthesis, t, right parenthesis의 변화율은 무엇일까요?

양과 그 비율 파악하기

일반적으로, 시간에 따라 크기가 변하는 원을 다루고 있습니다. 이 문제가 언급하는 것은 두 가지입니다:
r, left parenthesis, t, right parenthesis는 t초 후의 원의 반지름입니다. 단위는 cm입니다.
A, left parenthesis, t, right parenthesis는 t초 후의 원의 넓이입니다. 단위는 cm²입니다.
원의 반지름은 r(t)이고 넓이는 A(t) 입니다.
이 문제는 또한 다음 비율을 언급합니다. 각 양의 변화율은 도함수로 주어집니다.
r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis는 t일 때 반지름의 순간변화율입니다. 단위는 cm/s입니다.
A, prime, left parenthesis, t, right parenthesis는 t일 때 넓이의 순간변화율입니다. 단위는 cm²/s입니다.

주어진 정보 파악하기

반지름이 초당 3cm 증가한다고 주어졌습니다. 이는 임의의 값 t에 대하여 start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54 이라는 뜻입니다.
또한 특정한 순간인 t, start subscript, 0, end subscript에서, 반지름은 8cm로 주어졌습니다. 이는 start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd이라는 뜻입니다. 이는 t, start subscript, 0, end subscript에 대해서만 해당하고, 다른 임의의 t에 대하여는 해당하지 않는다는 것에 주목합니다.
마지막으로, t, start subscript, 0, end subscript인 순간에 A, left parenthesis, t, right parenthesis의 변화율을 구해야 합니다. 수학적으로, start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10를 구하는 것입니다.

넓이와 반지름 연관시키기

관련 있는 양들을 파악한 뒤, 이들과 관련된 방정식이나 공식을 구해야 합니다. 이 경우 양은 원의 넓이와 반지름입니다. 이 양들은 원의 넓이에 대한 공식을 이용하는 것과 관련되어 있습니다:
A, equals, pi, r, squared

미분하기

start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10를 구하기 위해서, 방정식의 양변의 도함수를 구해야 합니다. 도함수를 구하고 나면, start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #1fab54와 같이 주어진 다른 값들과 start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10를 연관시킬 수 있게 되고, 따라서 start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10를 구할 수 있게 됩니다.
A, left parenthesis, t, right parenthesis와 r, left parenthesis, t, right parenthesis에 대한 명백한 공식은 없으므로, 음함수 미분법을 이용합니다:
A(t)=π[r(t)]2ddt[A(t)]=ddt[π[r(t)]2]A′(t)=2πr(t)r′(t)\begin{aligned} A(t)&=\pi [r(t)]^2 \\\\ \dfrac{d}{dt}[A(t)]&=\dfrac{d}{dt}\Bigl[\pi [r(t)]^2\Bigr] \\\\ \goldD{A'(t)}&=2\pi\blueD{r(t)}\greenD{r'(t)} \end{aligned}
이는 문제 해결의 핵심입니다: 양(즉, A와 r)들을 관련시켜서, 그들의 비율(즉, A, prime과 r, prime)들을 미분을 통해 관련시킬 수 있습니다. 따라서 이런 문제들을 "관련된 비율"이라고 부르는 것입니다!

해결하기

우리가 구한 방정식은 임의의 t에 대해서 성립하고, 특히 t, start subscript, 0, end subscript에 대해서도 성립한다는 것에 주목합니다. 이 방정식에 start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd과 start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54을 대입합니다:
A′(t0)=2πr(t0)r′(t0)=2π(8)(3)=48π\begin{aligned} \goldD{A'(t_0)}&=2\pi\blueD{r(t_0)}\greenD{r'(t_0)} \\\\ &=2\pi(\blueD 8)(\greenD 3) \\\\ &=48\pi \end{aligned}
결론적으로, t, start subscript, 0, end subscript에서, 넓이는 초당 48, picm²의 비율로 증가한다는 것을 알 수 있습니다.
문제 1.A
  • 최근
문제 1은 다음 문제를 단계별로 해결할 수 있게 도와줍니다.
삼각형의 밑변 b, left parenthesis, t, right parenthesis는 13 start text, m, slash, h, end text의 속도로 감소하고 삼각형의 높이 h, left parenthesis, t, right parenthesis는 6 start text, m, slash, h, end text의 속도로 증가합니다. t, start subscript, 0, end subscript에서, 밑변은 5 start text, m, end text이고 높이는 1 start text, m, end text입니다. 그 순간, 삼각형의 넓이 A, left parenthesis, t, right parenthesis의 변화율은 얼마일까요?
각 식에 해당하는 단위를 맞춰보세요.
start text, m, end text
start text, m, slash, h, end text
start text, m, end text, squared
start text, m, end text, squared, start text, slash, h, end text
b, prime, left parenthesis, t, right parenthesis
A, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
h, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
start fraction, d, A, divided by, d, t, end fraction

연습을 더 하고 싶나요? 이 연습문제를 풀어보세요.

흔한 실수: 어떤 식이 변수이고 어떤 식이 상수인지 구분하지 못함.

보다시피, 관련된 비율 문제들은 여러 식을 포함합니다. 어떤 것들은 양을 나타내고 어떤 것들은 비율을 나타냅니다. 어떤 것들은 변화하고, 어떤 것들은 일정합니다.
모든 식의 의미를 이해하고 적절한 값이 주어진 경우, 그 값을 대입할 수 있도록 하는 것이 중요합니다.
예제와 문제 1에서 나와 있는 것과 비슷한 분석을 수행할 것을 권장합니다: 모든 관련된 양들은 무엇일까요? 그들의 비율은 무엇일까요? 단위는 무엇일까요? 값은 얼마일까요?
연습문제 2
다음 문제를 봅니다:
두 차량이 수직 방향에서 교차로를 향해 달리고 있습니다. 첫 번째 차량의 속도는 50, start text, space, k, m, slash, h, end text이고 두 번째 차량의 속도는 90, start text, space, k, m, slash, h, end text입니다. 특정한 순간인 t, start subscript, 0, end subscript에서, 첫 번째 차량은 교차로에서 0, point, 5, start text, space, k, m, end text의 거리 x, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis이고 두 번째 차량은 교차로에서 1, point, 2, start text, space, k, m, end text의 거리 y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis입니다. 그 순간에 차량 상의 거리 d, left parenthesis, t, right parenthesis의 변화율은 얼마일까요?
다음 중 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?
정답을 한 개 고르세요:

흔한 실수: 주어진 문제를 잘못 나타내는 방정식 선택

보다시피, 모든 양들과 관련된 방정식은 문제 해결에 결정적인 역할을 맡습니다. 보통, 모든 관련된 양들을 이용하여 이 상황을 묘사하는 그림을 그리는 것은 도움이 됩니다. 문제 2를 예시로 해봅시다. 문제는 직각삼각형을 묘사합니다.
직각삼각형은 교차로, 첫 번째 차량, 그리고 두 번째 차량 사이에서 만들어집니다. 직각은 교차로에 있습니다. 첫 번째 차량의 변의 길이는 x(t)입니다. 두 번째 차량의 변의 길이는 y(t)입니다. 차량 사이의 거리인 빗변은 d(t)입니다.
그림을 보면 구하고자 하는 방정식이 삼각형의 세 변 모두와 관련이 있다는 것을 분명히 알 수 있는데, 이는 피타고라스 정리를 이용하여 구합니다:
open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, equals, open bracket, x, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, plus, open bracket, y, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared
그림이 없으면, 순간적으로 d, left parenthesis, t, right parenthesis가 삼각형의 넓이라고 생각해 버릴지도 모릅니다...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, x, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
...혹은 x, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis, 그리고 d, left parenthesis, t, right parenthesis가 삼각형의 세 각이라고 생각해 버릴지도 모릅니다...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, x, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 180
...아니면 d, left parenthesis, t, right parenthesis를 한 각도라고 생각하고 삼각방정식을 만들어 버릴지도 모릅니다.
tangent, open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, t, right parenthesis, end fraction
이 모든 방정식들은 관련된 비율 문제에서 유용할 수도 있지만, 문제 2에서는 아닙니다.
연습문제 3
다음 문제를 봅니다:
벽에 기댄 20m의 사다리가 있습니다. 사다리의 바닥과 벽 사이의 거리 x, left parenthesis, t, right parenthesis는 분당 3m씩 증가하고 있습니다. 특정한 순간인 t, start subscript, 0, end subscript에서, 사다리의 꼭대기와 바닥 사이의 거리는 15m의 y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis입니다. 그 순간에 바닥과 사다리 사이의 각도 theta, left parenthesis, t, right parenthesis의 변화율은 얼마일까요?
다음 중 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?
정답을 한 개 고르세요:

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