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단원 4: 상대적 변화율이란?

상대적 변화율을 포함한 문제 풀기

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상대적 변화율 문제는 주어진 변화율을 가지고 다른 상대적 변화율을 구하는 문제입니다. 이러한 유형의 문제에 익숙해집시다.

관련된 비율 문제는 한 양이 다른 양과 연관되어 변화하고, 알려진 비율을 구하는 경우에 적용되는 문제들입니다

관련된 비율 문제에 대한 예시

다음 문제가 주어져 있습니다:

한 원의 반지름 $r (t)$ ‍는 초당 $3$ ‍cm의 비율로 증가합니다. 특정한 순간인 $t_{0}$ ‍에서, 반지름은 $8$ ‍cm입니다.

그 순간에 원의 넓이 $A (t)$ ‍의 변화율은 무엇일까요?

양과 그 비율 파악하기

일반적으로, 시간에 따라 크기가 변하는 원을 다루고 있습니다. 이 문제가 언급하는 것은 두 가지입니다:

r (t)

는

t

초 후의 원의 반지름입니다. 단위는 cm입니다.

A (t)

는

t

초 후의 원의 넓이입니다. 단위는 cm²입니다.

이 문제는 또한 다음 비율을 언급합니다. 각 양의 변화율은 도함수로 주어집니다.

r^{'} (t)

는

t

일 때 반지름의 순간변화율입니다. 단위는 cm/s입니다.

A^{'} (t)

는

t

일 때 넓이의 순간변화율입니다. 단위는 cm²/s입니다.

r (t)

의 단위는 cm로 주어졌고, 따라서

r^{'} (t)

의 단위는 cm/s이지만,

A (t)

와

A^{'} (t)

의 단위는 주어지지 않았다는 것에 주목합니다.

하지만, 문제를 바탕으로, 넓이

A (t)

의 단위는 cm²으로 가정할 수 있습니다(반지름의 단위가 cm이기 때문입니다). 게다가,

A^{'} (t)

의 단위는 cm²/s가 되어야 하는데, 이것은

A (t)

의 도함수이기 때문입니다.

주어진 정보 파악하기

반지름이 초당

3

cm 증가한다고 주어졌습니다. 이는 임의의 값

t

에 대하여

r^{'} (t) = 3

이라는 뜻입니다.

또한 특정한 순간인

t_{0}

에서, 반지름은

8

cm로 주어졌습니다. 이는

r (t_{0}) = 8

이라는 뜻입니다. 이는

t_{0}

에 대해서만 해당하고, 다른 임의의

t

에 대하여는 해당하지 않는다는 것에 주목합니다.

마지막으로,

t_{0}

인 순간에

A (t)

의 변화율을 구해야 합니다. 수학적으로,

A^{'} (t_{0})

를 구하는 것입니다.

넓이와 반지름 연관시키기

관련 있는 양들을 파악한 뒤, 이들과 관련된 방정식이나 공식을 구해야 합니다. 이 경우 양은 원의 넓이와 반지름입니다. 이 양들은 원의 넓이에 대한 공식을 이용하는 것과 관련되어 있습니다:

A = π r^{2}

미분하기

A^{'} (t_{0})

를 구하기 위해서, 방정식의 양변의 도함수를 구해야 합니다. 도함수를 구하고 나면,

r^{'} (t_{0})

와 같이 주어진 다른 값들과

A^{'} (t_{0})

를 연관시킬 수 있게 되고, 따라서

A^{'} (t_{0})

를 구할 수 있게 됩니다.

A (t)

와

r (t)

에 대한 명백한 공식은 없으므로, 음함수 미분법을 이용합니다:

\begin{aligned} A (t) & = π [r (t)]^{2} \\ \frac{d}{d t} [A (t)] & = \frac{d}{d t} [π [r (t)]^{2}] \\ A^{'} (t) & = 2 π r (t) r^{'} (t) \end{aligned}

이는 문제 해결의 핵심입니다: 양(즉,

A

와

r

)들을 관련시켜서, 그들의 비율(즉,

A^{'}

과

r^{'}

)들을 미분을 통해 관련시킬 수 있습니다. 따라서 이런 문제들을 "관련된 비율"이라고 부르는 것입니다!

해결하기

우리가 구한 방정식은 임의의

t

에 대해서 성립하고, 특히

t_{0}

에 대해서도 성립한다는 것에 주목합니다. 이 방정식에

r (t_{0}) = 8

과

r^{'} (t_{0}) = 3

을 대입합니다:

\begin{aligned} A^{'} (t_{0}) & = 2 π r (t_{0}) r^{'} (t_{0}) \\ = 2 π (8) (3) \\ = 48 π \end{aligned}

결론적으로,

t_{0}

에서, 넓이는 초당

48 π

cm²의 비율로 증가한다는 것을 알 수 있습니다.

문제 1.A

문제 1은 다음 문제를 단계별로 해결할 수 있게 도와줍니다.

삼각형의 밑변 $b (t)$ ‍는 $13$ ‍ $m/h$ ‍의 속도로 감소하고 삼각형의 높이 $h (t)$ ‍는 $6$ ‍ $m/h$ ‍의 속도로 증가합니다. $t_{0}$ ‍에서, 밑변은 $5$ ‍ $m$ ‍이고 높이는 $1$ ‍ $m$ ‍입니다. 그 순간, 삼각형의 넓이 $A (t)$ ‍의 변화율은 얼마일까요?

각 식에 해당하는 단위를 맞춰보세요.

	$m$ ‍	$m/h$ ‍	$m^{2}$ ‍	$m^{2} /h$ ‍
$b^{'} (t)$ ‍
$A (t_{0})$ ‍
$h (t_{0})$ ‍
$\frac{d A}{d t}$ ‍

연습을 더 하고 싶나요? 이 연습문제를 풀어보세요.

흔한 실수: 어떤 식이 변수이고 어떤 식이 상수인지 구분하지 못함.

보다시피, 관련된 비율 문제들은 여러 식을 포함합니다. 어떤 것들은 양을 나타내고 어떤 것들은 비율을 나타냅니다. 어떤 것들은 변화하고, 어떤 것들은 일정합니다.

모든 식의 의미를 이해하고 적절한 값이 주어진 경우, 그 값을 대입할 수 있도록 하는 것이 중요합니다.

예제와 문제 1에서 나와 있는 것과 비슷한 분석을 수행할 것을 권장합니다: 모든 관련된 양들은 무엇일까요? 그들의 비율은 무엇일까요? 단위는 무엇일까요? 값은 얼마일까요?

연습문제 2

다음 문제를 봅니다:

두 차량이 수직 방향에서 교차로를 향해 달리고 있습니다. 첫 번째 차량의 속도는 $50 km/h$ ‍이고 두 번째 차량의 속도는 $90 km/h$ ‍입니다. 특정한 순간인 $t_{0}$ ‍에서, 첫 번째 차량은 교차로에서 $0.5 km$ ‍의 거리 $x (t_{0})$ ‍이고 두 번째 차량은 교차로에서 $1.2 km$ ‍의 거리 $y (t_{0})$ ‍입니다. 그 순간에 차량 상의 거리 $d (t)$ ‍의 변화율은 얼마일까요?

다음 중 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?

흔한 실수: 주어진 문제를 잘못 나타내는 방정식 선택

보다시피, 모든 양들과 관련된 방정식은 문제 해결에 결정적인 역할을 맡습니다. 보통, 모든 관련된 양들을 이용하여 이 상황을 묘사하는 그림을 그리는 것은 도움이 됩니다. 문제 2를 예시로 해봅시다. 문제는 직각삼각형을 묘사합니다.

그림을 보면 구하고자 하는 방정식이 삼각형의 세 변 모두와 관련이 있다는 것을 분명히 알 수 있는데, 이는 피타고라스 정리를 이용하여 구합니다:

[d (t)]^{2} = [x (t)]^{2} + [y (t)]^{2}

그림이 없으면, 순간적으로

d (t)

가 삼각형의 넓이라고 생각해 버릴지도 모릅니다...

d (t) = \frac{x (t) \cdot y (t)}{2}

...혹은

x (t)

y (t)

, 그리고

d (t)

가 삼각형의 세 각이라고 생각해 버릴지도 모릅니다...

d (t) + x (t) + y (t) = 180

...아니면

d (t)

를 한 각도라고 생각하고 삼각방정식을 만들어 버릴지도 모릅니다.

\tan [d (t)] = \frac{y (t)}{x (t)}

이 모든 방정식들은 관련된 비율 문제에서 유용할 수도 있지만, 문제 2에서는 아닙니다.

연습문제 3

다음 문제를 봅니다:

벽에 기댄 $20$ ‍m의 사다리가 있습니다. 사다리의 바닥과 벽 사이의 거리 $x (t)$ ‍는 분당 $3$ ‍m씩 증가하고 있습니다. 특정한 순간인 $t_{0}$ ‍에서, 사다리의 꼭대기와 바닥 사이의 거리는 $15$ ‍m의 $y (t_{0})$ ‍입니다. 그 순간에 바닥과 사다리 사이의 각도 $θ (t)$ ‍의 변화율은 얼마일까요?

다음 중 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?

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