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주요 내용

국소 선형

접선의 방정식을 사용해서 주변 함숫값을 추측하는 방법을 배워 봅시다. 이를 "국소 선형화"라고 합니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

우리가 근사하는 것에 관심있다고 해봅시다 √4.36이 무엇인지 근사하는것에 우리는 이것의 근사값을 계산하고 싶은데 계산기가 없습니다 근사값을 생각하는 한 가지 방법은 우리가 알고있는 √4를 이용하는 것입니다 우리는 √4가 2인 것을 알고 있습니다 √4는 2입니다 때문에 저것은 2보다 약간 클 것입니다 우리가 더 정확한 계산을 하고 싶다고 해봅시다 제가 지금 이 영상에서 보여줄것은 그것의 방법입니다 우리가 이미 알고있는 값 근처의 함숫값을 근사하는 제가 지금 무엇을 말하고 있나요? 함수를 하나 생각해봅시다 f(x)=√x 라는 함수가 있습니다 f(x)=x^(1/2)와 동일한 우리는 f(2)가 무엇인지 압니다 아 죄송합니다 우리는 f(4)의 값을 알고 있습니다 f(4)는 2와 같은 √4입니다 혹은 4의 제곱근입니다 +2와 같은 우리가 근사하고 싶은 것은 f(4.36)의 값입니다 이것은 그냥 이 영상을 시작하면서 했던 질문과 정확히 같습니다 함수를 하나 생각해봅시다 잠깐만 생각해봅시다 제가 축을 좀 그리겠습니다 이것이 y축입니다 이것은 x축이고 y=f(x)의 그래프를 그려봅시다 이렇게 생겼다고 해봅시다 y=f(x)는 저렇게 생겼습니다 꽤 잘 그린 것 같습니다 저기 있는것이 y=f(x)입니다 그리고 우리는 f(4)가 2인 것을 알고 있습니다 f(4)는 2이고 이것은 x가 4일때의 값입니다 실제 크기 비율로 그리지는 않았지만 꽤 분명합니다 저기 저 점이 2입니다 저것이 f(4)입니다 우리는 f(4.36)의 값을 근사하고 싶은 것이고 4.36은 저기 쯤 될 것입니다 우리는 근사하고 싶습니다 우리는 저기 y값을 근사하고 싶습니다 우리는 저것을 근사하고 싶습니다 여기가 f(4.36)이고 우리는 계산기가 없다고 가정합시다 우리가 미분에 대해 알고 있는 것을 어떻게 이용할 수 있을까요? 우리가 이 점의 접선의 방정식을 구한다면 바로 이 점에서 접하는 x=4에서의 접선의 방정식은 우리는 선형화를 사용하고 지역 값을 근사하기 위해 근사되었기 때문에 이 기술은 지역 선형화라고 부릅니다 제가 지금 말하는 것은 이 선의 방정식을 구해보자는 것입니다 우리가 그것을 L(x)라고 합시다 우리는 저 식을 사용할 수 있습니다 우리는 4.36에서 계산할 수 있고 약간 쉬울꺼라 바랍니다 저기서 값을 계산하는것 보다는 그래서 어떻게 할까요? 생각할 수 있는 한가지 방법은 선을 표현하는 방법은 많지만 그 중 한가지 방법은 L(x)는 2인 f(4) L(x)는 f(4)더하기 x=4에서의 기울기 물론 f'(4)입니다 L(x)의 기울기가 f'(4)입니다 분명히 해봅시다 여기 있는 것이 기울기입니다 x=4에서의 기울기는 이것이 이 선 전체의 기울기입니다 이 선의 모든 점에서의 기울기가 f'(4)입니다 그 기울기 곱하기 x=4에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 입니다 따라서 곱하기 (x-4)가 될 것입니다 이것이 말이 되도록 해봅시다 여기에 4.36을 넣으면 분명히 하기 위해 그래프를 확대해봅시다 만약 이것이 확대하겠습니다 확대하겠습니다 이 부분을 확대 해보겠습니다 이것이 점입니다 이것이 (4,f(4))이고 L(x)를 그릴것입니다 해봅시다 이것이 L(x)입니다 저것이 L(x)입니다 이 점이 (4.36,f(4.36))이고 이 값을 근사하고 싶습니다 이 값이 무엇이 될지 알고 싶습니다 이것이 어떻게 될까요? 이 점은 (4.36,L(4.36))이 될것입니다 x=4.36일때 저것이 어떻게 될까요? 저 값이 무엇일까요? 한번 봅시다 그냥 계산해봅시다 L(4.36)은 f(4) 그니깐 2 더하기 기울기인 f'(4) 곱하기 (x-4)입니다 (4.36-4)는 0.36이 될 것이고 말이 됩니다 여러분은 2에서 시작합니다 x를 4.36으로 변화시킵니다 y변화량은 기울기 곱하기 x의 변화량입니다 우리가 저 값을 알기 위한 것입니다 이것이 무엇인지 알아봅시다 이것이 무엇인지 우리는 f'(4)를 먼저 구해야합니다 이것을 여기에 시각화해봅시다 f'(x)는 급수의 법칙을 사용해보면 (1/2)*x^(-1/2)입니다 때문에 f'(4)는 (1/2)*4^(-1/2)입니다 물론 1/2 * 1/2 입니다 4^(1/2)는 2입니다 4^(-1/2)는 1/2가 될것입니다 그래서 이 값은 1/4가 됩니다 L(4.36)은 f(4) 이것을 다시 써봅시다 f(4)+f'(4) 이런 제가 왜 색깔을 바꾼거죠? 노란색으로 해봅시다 +f'(4)곱하기 4.36 4.36 새로운 색으로 해봅시다 (4.36-4)를 곱하면 됩니다 모든 4를 같은색으로 만들어봅시다 같은 것으로 보입니다 무엇이 될까요? 이것은 2라고 미리 계산했습니다 저것은 계산한 바에 의하면 1/4이고 저것은 0.36입니다 그래서 2+(1/4)*0.36입니다 즉 0.08입니다 그래서 2.09가 될 것입니다 이것이 근사값입니다 그래프를 기반으로 구한 값이라 실제 √4.36 보다는 약간 큽니다 이것을 이 위에 쓰겠습니다 이것은 근사적으로 이렇게 써봅시다 루트 여기 밑에 쓰겠습니다 √4.36 즉 f(4.36)은 근사적으로 2.09입니다 계산기가 생겼다고 해봅시다 근사를 얼마나 잘했는지 확인해 봅시다 계산기를 꺼내봅시다 √4.36을 계산해보면 2.088이 나옵니다 소수점 2자리 정도 수준으로 비슷합니다 볼 수 있듯이 근사를 꽤 잘한것 같습니다 이 그래프에서 실제 값보다 약간 높은 근사값을 구했습니다