유리함수의 선형 추정

이런 종류의 함수를 생각해봅시다 이런 종류의 함수를 생각해봅시다 이것은 분명하게 비선형 함수입니다 f(x) = 1/(x-1) 이것이 이 함수의 그래프 혹은 그 일부분입니다 이것이 이 함수의 그래프 혹은 그 일부분입니다 만약 특정한 값 근처에서 이 함수를 일차함수로 근사하려고 합니다 우리가 할 것은 어떤 근사를 찾는 것입니다 우리는 이 함수에 대해 근사를 구하고 싶습니다 좀더 정확히 말하자면 일차근사(선형근사)를 구하고 싶습니다 즉, 이 함수를 어떤 선으로 근사하고자 합니다 우리는 어떤 일차근사를 구하고자 합니다 또한 f의 일차근사를 하기 전에 알아야 할 점은 어디 근처에서 근사하려는지 입니다 x=-1 근처에서 일차근사를 해봅시다 이게 무슨 뜻일까요? 여기 이 그래프를 봅시다 이 곡선에서 x가 -1일 때 f(-1)은 -1/2입니다 여기에 표시를 합시다 다른 색깔로 표시하겠습니다 우리가 하고싶은 것은 이 주변을 어떤 직선으로 근사하는 것입니다 따라서 우리가 본질적으로 하고자 하는 것은 이 부분을 접선의 방정식으로 근사하는 것입니다 접선은 이렇게 생겼을 것입니다 보시는 것과 같이 x=-1에서 점점 멀어질수록 x=-1에서 점점 멀어질수록 근사한 값은 점점 차이가 납니다 만약 우리가 x=-1 주변을 본다면 꽤 괜찮은 근사값을 얻을 수 있습니다 적어도 이 예시에서는 굉장히 좋은 일차근사값입니다 x=-1 근처에서 일차 근사를 구하라는 것은 혹은 직선들 중에서 가장 좋은 근사를 찾는 것은 혹은 직선들 중에서 가장 좋은 근사를 찾는 것은 본질적으로 x=-1에서 접선의 방정식을 구하라는 것입니다 이제 해봅시다 접선의 방정식을 구하기 위해서는 직선의 방정식은 y=mx+b입니다 이 때, m이 기울기이고 b가 y 절편입니다 이것 말고도 다른 표현 방법을 생각해 볼 수도 있습니다 표준형으로 표현하는 방법을 생각해보면 y 빼기 어떤 직선 위의 점의 y좌표 y₁ 이 기울기 곱하기 x 빼기 그 점의 x좌표 x₁과 같다고 쓸 수도 있습니다 여기서 (x₁, y₁)은 어떤 직선위의 점입니다 저는 이런 표준형을 이런 형태로 쓰는걸 더 선호합니다 (y - y₁) / (x - x₁) = b (y - y₁) / (x - x₁) = b 이 형태가 조금 더 직관적이기 때문입니다 만약 (x₁, y₁)이 직선 위의 점이라면 직선 위의 다른 임의의 점과의 기울기가 그 직선의 기울기가 될 것입니다 이 표현들 중 어떤 것을 사용해도 괜찮습니다 먼저 접선의 기울기를 구해봅시다 이 때, 도함수가 유용하게 사용됩니다 여기에 f(x)를 다시 적어봅시다 이를 (x-1)의 -1제곱으로 쓰겠습니다 이를 (x-1)의 -1제곱으로 쓰겠습니다 이렇게 쓴다면 조금 더 명확히 거듭제곱의 법칙과 연쇄법칙을 사용할 수 있습니다 f를 x로 미분한 도함수는 즉, (x-1)의 -1제곱의 도함수를 구하기 위해 x-1로 먼저 미분하겠습니다 여기서 거듭제곱법칙을 사용하면 -1 곱하기 (x-1)의 -2제곱이 됩니다 그리고 여기에 x-1을 x로 미분한 값을 곱해야 합니다 이는 그냥 1입니다 x를 x로 미분하면 1이고 -1을 x로 미분하면 0입니다 따라서 이 뒤에 1이 곱해진다고 할 수 도 있고 혹은 이것이 값을 변화시키지는 않기 때문에 그냥 쓰지 않을 수도 있습니다 그럼 이제 x가 -1일때 계산해봅시다 f'(-1)은 여기에 쓰겠습니다 분자는 -1이고 분모는 (-1-1)²가 됩니다 따라서 이는 -1/4가 됩니다 즉, 우리의 접선의 기울기는 m = -1/4입니다 m = -1/4입니다. 이제 우리는 전체 방정식을 구해야 합니다 우리는 이미 직선 위의 점 (x₁, y₁)을 알고 있습니다 우리가 사용할 직선위의 점은 x가 -1일 때의 직선위의 점입니다 우리는 그점의 x좌표가 -1이라는 것을 알고있고 여기에 -1을 대입하면 f(-1)은 -1/2 입니다 f(-1)은 -1/2 입니다 우리는 (-1, -1/2)가 우리의 곡선 위에도 있고 직선 위에도 있는 접선과 곡선이 만나는 점임을 알고 있습니다. 접선과 곡선이 만나는 점임을 알고 있습니다 따라서 우리는 이것들 중 하나의 방법을 이용하여 직선의 방정식을 쓸 수 있습니다 y y 빼기 y₁, 즉 -1/2 이 다음과 같습니다 기울기 -1/4 여기서는 표준형을 사용하겠습니다 기울기 곱하기 x - x₁ x - x₁ 혹은 x좌표 즉, -1 이 전체를 다른 색으로 써보겠습니다 y +1/2 = 여기 이것이 +1이 되고 이 -1/4를 분배법칙을 사용하면 -1/4 x 빼기 1/4 입니다 양변에서 1/2을 뺀다면 y = -1/4 x 여기 이미 1/4를 뺐기 때문에 여기서 1/2을 더빼게 되면 -3/4입니다 -3/4 이는 여기에 그린것과 꽤 비슷합니다 이 직선은 y축과 -3/4에서 교차할 것입니다 따라서 이 직선은 혹은 이 방정식은 굉장히 좋은 일차 근사가 됩니다 x=-1 근처에서 이 비선형 함수를 일차 근사한 것중엔 가장 좋은 근사일 것입니다 처음부터 x=-1에서 접선의 방정식을 구하라고 하면 되는것 아니냐는 의문을 가질 수도 있습니다 그럴 수도 있겠지만 여기에는 약간 다른 뉘앙스가 존재합니다 다만 여기에서는 접선의 방정식을 사용하여 x=-1 근처에서 이 함수를 근사 할 수 있는 것으로 생각합시다