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주요 내용

국소 선형으로 값 추정하는 문제 풀기

도함수를 사용하여 곡선 위의 한 점에서 접선의 방정식을 구해 봅시다. 그리고 접선의 방정식으로 x값 주변의 함숫값을 추정해 봅시다.

동영상 대본

함수 f는 두 번 미분가능하며 f(2) = 1 f'(2) = 4 f''(2) = 3입니다 f 그래프 위에서 x = 2일 때의 접선을 사용해 f 그래프 위에서 x = 2일 때의 접선을 사용해 어림한 f(1.9)의 값은 무엇일까요? 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 실제로 AP Calculus 시험에 나온 문제입니다 좋습니다 이제 같이 해봅시다 이걸 시험에서 푼다면 저는 바로 점 (2, 1)을 지나는 접선의 방정식을 찾았을 것이고 접선의 방정식을 찾았을 것이고 그리고 나서 x가 1.9일 때 y의 값을 찾았을 것입니다 그게 어림값이 되었겠죠 하지만 배운다는 목적이 있으니 무슨 일이 일어나고 있는지 확인해 봅시다 그래프를 그려볼게요 이게 y축이고 이게 x축입니다 이건 x = 1이고 여기는 x = 2입니다 여기는 y = 1입니다 점 (2, 1)은 y = f(x) 그래프 위에 있음을 알고 있습니다 이 점을 알고 있고 또한 접선의 기울기도 알고 있습니다 접선의 기울기는 4입니다 이렇게 생겼습니다 조금 더 가파르겠네요 접선의 기을기는 이렇습니다 접선의 기을기는 이렇습니다 그리고 더 아는 것이 별로 없습니다 이계도함수가 여기 있는데 함수가 어떻게 생겼는지 모르는 상태에서 문제를 풀어야 합니다 이렇게 생겼을 수 있습니다 그려볼게요 이렇게 생겼을 수 있습니다 이렇게 생겼을 수 있습니다 f(1.9)를 찾으려고 하고 있습니다 만약 x가 1.9면 f(1.9)일 때 함수가 실제로 이렇게 생겼다면 이 값일 수 있습니다 하지만 함수에 대해 알지 못하니 확신할 수 없습니다 하지만 함수에 대해 알지 못하니 확신할 수 없습니다 문제는 접선을 사용하라고 권하고 있습니다 문제는 접선을 사용하라고 권하고 있습니다 이 접선의 방정식은 알고 있습니다 이 접선은 x가 1.9일 때 얼마일까요? 이 접선은 x가 1.9일 때 얼마일까요? x가 1.9일 때 여기와 같고 이것을 f(1.9)를 어림하는 데 사용할 수 있습니다 이것을 f(1.9)를 어림하는 데 사용할 수 있습니다 그러려면 접선의 방정식을 알아야 합니다 그러려면 접선의 방정식을 알아야 합니다 기울기와 한 점의 좌표를 이용하여 나타낸 일차함수의 식을 사용할 수 있습니다 y에서 이 선에 있다고 아는 y값을 뺍니다 점 (2, 1)이 선 위에 있으니 y - 1입니다 이는 무엇과 같냐면 이미 4라고 알고 있는 접선의 기울기에 이 y 값에 해당하는 x값인 2를 넣어서 (x - 2)를 곱한 것과 같습니다 이제 x = 1.9를 대입해서 f(1.9)의 어림값을 구할 수 있습니다 y - 1 = 4(1.9 -2)입니다 y - 1 = 4(1.9 -2)입니다 1.9 - 2 = 0.1입니다 4(-0.1)은 -0.4고 4(-0.1)은 -0.4고 양변에 1을 더하면 y는 0.6입니다 y는 0.6입니다 비율을 맞게 그리진 않았지만 0.6은 이 정도일 수 있습니다 0.6은 이 정도일 수 있습니다 f(1.9)를 어림한 값은 이렇고 보기 B입니다 다 했습니다 흥미로운 점은 주어진 모든 정보를 사용하지 않았다는 것입니다 문제를 푸는 데 이계도함수에 대한 정보는 필요가 없었습니다 그러니 이런 상황에 닥친다면 자신을 너무 의심하지 마세요 필요 없는 정보를 줄 때도 있습니다