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주요 내용

미분을 사용한 일차원 운동이란?

직선 운동은 위치를 시간에 관한 함수로 나타낼 수 있습니다. 미적분학에서는 속도, 속력, 가속도, 그리고 위치의 변화에 관련된 모든 지식을 배울 수 있습니다.

동영상 대본

이번 동영상에서는 어떻게 1차원의 위치를 시간에 대한 함수로 표현할지 생각해 봅시다 시간에 대한 함수로 표현할지 생각해 봅시다 위치를 x 축 위에서 시간에 대한 함수로 표현할 수 있습니다 시간에 대한 함수로 표현할 수 있습니다 이걸 방정식으로 표현할 수 있는데 이 경우에는 t³ - 3t² + 5입니다 t³ - 3t² + 5입니다 그리고 이는 시간이 음수가 아닐 때 해당합니다 그리고 이는 시간이 음수가 아닐 때 해당합니다 음수의 시간은 적어도 아직은 조금 이상하니까요 이것이 무엇을 나타내는지 생각해 봅시다 이것이 무엇을 나타내는지 생각해 봅시다 이를 돕기 위해 표를 만들어서 시간(초)에 따라 시간(초)에 따라 x축 위의 위치가 어디인지 살펴봅시다 t가 0일 때 x(0)은 5입니다 t가 1일 때 1 - 3 + 5이므로 이건 1 - 3이 -2고 5를 더하면 3입니다 t = 2일 때는 8 - 12 + 5입니다 위치가 1입니다 t = 3일 때 27 - 27 + 5입니다 다시 5로 돌아옵니다 이것으로 어느정도 첫 3초에 무슨 일이 일어나는지 알 수 있습니다 양의 x축을 그려보겠습니다 이렇다고 하고요 여기가 x = 0입니다 이건 x축이고요 x는 여기서 1 2, 3, 4, 5입니다 그러면 여기서 묘사하고 있는 입자가 x축 위에서 어떻게 움직이는지 알아봅시다 여기서 시작해서 1초, 2초, 3초가 지납니다 다시 해보죠 1초, 2초, 3초입니다 제가 마우스를 움직인 것이 시간을 적당히 맞추었다면 이 입자의 움직임입니다 그래프로 나타낼 수도 있습니다 예를 들어 이렇게 생겼을 수 있습니다 t = 0에서 시작해 이 세로축 그러니까 y축이 이 세로축 그러니까 y축이 x축 위의 위치를 나타냡니다 약간 직관적이지 않은데 왼쪽과 오른쪽의 차원에서 위치를 이야기하는데 왼쪽과 오른쪽의 차원에서 위치를 이야기하는데 세로로 시작하긴 하지만 세로로 시작하긴 하지만 똑같다는 걸 볼 수 있습니다 t = 1일 때 위치는 3으로 내려가고 더 내려가서 t = 2일 때 위치는 1입니다 그리고 방향을 바꾸어 이후 몇 초동안 5로 다시 올라갑니다 이후 몇 초동안 5로 다시 올라갑니다 미적분학의 맥락에서 흥미로운 점이 있습니다 미적분학의 맥락에서 흥미로운 점이 있습니다 매 시간마다 속도는 얼마일까요? 속도는 기억한다면 위치의 도함수입니다 적어보겠습니다 속도를 시간의 함수로 생각하면서 속도를 시간의 함수로 생각하면서 속도는 시간에 대한 위치의 일계도함수입니다 속도는 시간에 대한 위치의 일계도함수입니다 이는 무엇이냐면 멱의 법칙과 여러 미분 방법을 적용할 것입니다 멱의 법칙과 여러 미분 방법을 적용할 것입니다 이것이 익숙하지 않다면 복습하기를 추천합니다 어쨋든 이것은 3t² - 6t + 0입니다 어쨋든 이것은 3t² - 6t + 0입니다 그리고 정의역을 t ≥ 0으로 제한합니다 그리고 정의역을 t ≥ 0으로 제한합니다 이것을 그래프로 나타내면 이렇습니다 이제 이 곡선이 직관적으로 말이 되는지 봅시다 1, 2, 3초 때에 이렇다고 했습니다 1, 2, 3초 때에 이렇다고 했습니다 왼쪽으로 가기 시작하는 것이죠 일반적으로 왼쪽으로 가면 음의 속도이고 오른쪽으로 가면 양의 속도입니다 여기서는 속도가 1초가 될 때까지 더 큰 음수가 된다는 것을 볼 수 있습니다 그리고 계속 음수이긴 하지만 덜 음수가 되어서 2초에 도달합니다 그리고 2초에는 속도가 양수입니다 말이 됩니다 2초에 속도가 오른쪽으로 방향을 바꾸었습니다 속도가 오른쪽으로 방향을 바꾸었습니다 속도가 점점 음수가 되었다가 덜 음수가 되었다가 방향을 바꾸어 이렇가 갑니다 여기서 볼 수 있죠 여기서 주의할 점은 속도를 시간에 대한 함수로 생각할 때 속도와 속력은 다르다는 것입니다 속력은 1차원에서 생각하면 시간에 대한 함수인 속도의 절대값 혹은 시간에 대한 함수인 속도의 크기입니다 혹은 시간에 대한 함수인 속도의 크기입니다 그래서 처음에 속도는 점점 더 음수가 되지만 속력은 사실 증가합니다 속력은 왼쪽으로 증가하고 있고 속력이 줄어들면서 느려지고 오른쪽으로 가면서 속력이 증가합니다 오른쪽으로 가면서 속력이 증가합니다 차후에 이에 대한 예제를 해보도록 하겠습니다 차후에 이에 대한 예제를 해보도록 하겠습니다 이 동영상에서 다룰 마지막 개념은 가속도입니다 가속도는 시간에 대한 속도의 변화율입니다 시간에 대한 함수인 가속도는 시간에 대한 속도의 일계도함수입니다 시간에 대한 속도의 일계도함수입니다 시간에 대한 위치의 이계도함수이기도 하죠 시간에 대한 위치의 이계도함수이기도 하죠 이 방정식의 도함수입니다 다시 한번 멱의 법칙을 사용해 6t가 되고 여기 멱의 법칙을 사용해 -6이고 역시나 정의역을 제한합니다 이것을 그릴 수도 있습니다 여기서 볼 수 있듯이 y는 가속도로 시간에 대한 함수입니다 t = 0일 때 가속도가 꽤 음수임을 볼 수 있습니다 -6이죠 그리고 점점 덜 음수가 됩니다 그러다 가속도는 t = 1일 때 양수가 됩니다 그러다 가속도는 t = 1일 때 양수가 됩니다 이게 말이 되나요? 1, 2, 3초에 이렇게 움직이니 2초에 갈 때까지 방향을 바꾸지 않았다고 할 수 있지만 1초에 음수 방향으로 가던 속도가 덜 음수가 되기 때문에 가속도는 양수입니다 헷갈린다면 둉영상을 멈추고 생각해 보세요 가속도는 음수였다가 양수가 됩니다 그리고 계속 양수이고요 이번에는 직관적으로 살펴보았고 다음 몇 동영상에선 예제를 통해 더 깊게 움직임과 위치 1차원의 움직임에 대해 알아보겠습니다