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주요 내용

특수한 경우의 로피탈 법칙 증명

로피탈 법칙의 정확한 증명은 아닙니다. 하지만 적어도 로피탈 법칙이 성립하는 이유는 알 수 있습니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

제가 오늘 이야기하고자 하는 것은 로피탈의 법칙의 특수한 경우에 대한 것입니다 이것은 저희가 평상시에 보던 일반적인 경우보다 제한된 것입니다 하지만 이것은 여전히 매우 유용합니다 특수한 경우를 보는 이유는 증명이 매우 쉽기 때문이며 왜 로피탈의 법칙이 성립하는지의 직감을 길러줄 것입니다 로피탈의 법칙의 특수한 경우는 f(a)가 0으로 가며 f'(a)가 존재할 때입니다 g(a)도 0이고 g'(a)도 존재합니다 만약 두 조건을 만족한다면 x가 a로 갈 때의 f(x)/g(x)는 f'(a)/g'(a)와 같은 값을 가집니다 이것은 일반적인 경우와 거의 유사합니다 하지만 조금 제한적으로 봅시다 우리는 f'(a)가 존재한다고 가정했습니다 저희는 극한을 취하지 않고 있습니다 저희는 f'(a)와 g'(a)가 모두 존재한다고 가정하였습니다 하지만 극한을 취한다면 좌변은 0/0입니다 하지만 미분값이 존재한다면 저희는 a에서의 미분값을 대입해서 극한값을 구할 수 있습니다 이것은 일반적인 로피탈의 정리와 매우 유사합니다 이제 증명을 해 보도록 하겠습니다 먼저 증명을 하기 위해 우리는 우변을 먼저 시작하고 미분값을 구하면 우리는 좌변을 얻게 될 겁니다 해보도록 하겠습니다 여기서 하도록 하겠습니다 f'(a)값은 정의에 의하면 무엇입니까? f(x)-f(a)를 x-a로 나눈것의 극한값입니다 이것은 그냥 두 점 사이의 기울기입니다 이렇게 생긴 f(x)가 있고 이 점이 a이면 이 점의 x좌표가 x이고 이 식이 나타내는 것은 두 점 사이의 기울기 입니다 y변화량은 f(x)-f(a)이고 x 변화량은 x-a입니다 그러니 이 식은 그냥 기울기를 나타내는 겁니다 이것을 다른 색깔로 칠해보겠습니다 우리는 이 두 점 사이의 기울기를 구하고 있으며 하얀색으로 칠하겠습니다 하얀색으로 칠하겠습니다 x가 a로 가까워질 때 극한값을 구해보겠습니다 이것은 미분값을 구하는 다른 방법입니다 다른 방법입니다 g'(a)도 마찬가지로 해 보겠습니다 f'(a)/g'(a)는 위의 그림과 같이 됩니다 위의 그림과 같이 됩니다 x가 a로 갈 때 g(x)-g(a)/x-a입니다 분자에서도 x가 a로 갈 때의 극한값을 구하고 있고 분모에서도 x가 a로 갈 때의 극한값을 구하고 있습니다 다시 써 보면 x가 a로 갈 때 주황색으로 쓴 f(x)-f(a)/x-a를 초록색으로 쓴 g(x)-g(a)/x-a로 나눈 값의 극한입니다 간단히 하기 위해서 우리는 분자와 분모에서 x-a를 소거할 수 있습니다 x-a를 소거할 수 있습니다 x-a를 소거할 수 있습니다 x-a를 소거할 수 있습니다 x-a를 소거할 수 있습니다 x-a를 소거할 수 있습니다 이제 남은 값은 x가 a로 갈 때 분자는 f(x)-f(a)이고 분모는 g(x)-g(a)가 남았습니다 이 값이 어떻게 될까요? f(a)값은 무엇과 같습니까? 우리는 f(a)가 0이라고 가정했습니다 이것이 우리가 로피탈 정리를 쓰는 이유입니다 f(a)와 g(a)는 모두 0입니다 f(a)와 g(a)는 모두 0입니다 간단히 하자면 위의 식은 f(x)/g(x)가 됩니다 f(x)/g(x)가 됩니다 방금 우리는 f(a)와 g(a)가 0일때 그리고 미분값이 존재할 때 f'(a)/g'(a)는 x가 a로 갈 때 f(x)/g(x)의 극한값과 같과 같음을 보였습니다 f(x)/g(x)의 극한값과 같과 같음을 보였습니다 f(x)/g(x)의 극한값과 같과 같음을 보였습니다 f(x)/g(x)의 극한값과 같과 같음을 보였습니다 정리하자면 특별한 경우의 로피탈의 정리는 증명하기 쉽습니다