로피탈 법칙 : 변수의 값 구하기

여기 굉장히 흥미로운 문제가 있습니다 다음 조건을 만족하는 a를 찾아야 합니다 x가 0으로 갈 때 √(4＋x)－√(4－ax) √(4＋x)－√(4－ax) 전체를 x로 나눈 식의 극한이 3/4이라고 합니다 항상 그랬듯이 일단 영상을 중지하시고 먼저 풀어 보시길 권합니다 그럼 여러분이 몇 번 시도해 보셨다고 가정하고 이제 같이 한 번 풀어 봅시다 먼저 직접적으로 이 극한을 푸려고 시도해 보겠습니다 그러니까 제 말은 x＝0을 바로 대입해서 계산해 봅시다 x＝0을 바로 대입해서 계산해 봅시다 x가 0으로 갈 때 √(4＋x)－√(4－ax) √(4＋x)－√(4－ax) 전체를 x로 나눈 것의 극한입니다 그러면 먼저 이 항은 그냥 √4가 됩니다 4＋0＝4입니다 그리고 이 항도 또한 √4가 됩니다 왜냐하면 a가 어떤 값이든 x＝0이니 ax＝0이 되기 때문입니다 결국 근호 안에는 4－0이 남게 되어 오른쪽 항은 그냥 √4가 됩니다 즉 2가 됩니다 이 근호 식 전체가 2가 됩니다 그냥 x＝0을 대입하셨다면 이 부분은 2가 되고 이쪽 근호 식 전체도 역시 2가 됩니다 그러면 분자는 2－2가 됩니다 그리고 x가 0으로 갈 때 분모도 0으로 갑니다 이 결과는 부정형임을 알 수 있습니다 이렇게 부정형 극한을 만났을 때 로피탈의 정리가 적용될 가능성이 있습니다 다시 말해 0/0꼴이나 무한대/무한대 꼴이 나온 경우입니다 그러면 이 극한은 x가 0으로 갈 때 x가 0으로 갈 때 x가 0으로 갈 때 분자의 도함수 나누기 분모의 도함수의 극한과 같습니다 그러면 먼저 분자의 도함수는 어떻게 됩니까? 아 일단 분모의 도함수부터 해 봅시다 왜냐하면 x의 도함수는 x에 대해서 x를 미분하면 쉽게 1이 됨을 알 수 있기 때문입니다 이제 분모를 쉽게 끝냈으니 분자의 도함수를 구해 봅시다 이 분자를 x로 미분하면 자 일단 첫 번째 항은 (4＋x)의 1/2제곱이고 그러므로 첫째 항의 도함수는 1/2에다가 (4＋x)의 －1/2제곱을 곱한 게 됩니다 그리고 비슷한 방식으로 둘째 항의 도함수도 구합시다 먼저 여기－a가 있으니 연쇄법칙을 고려해야 합니다 첫째 항에 연쇄법칙을 적용하면 4＋x니까 그냥 1입니다 그냥 이 부분에다 1을 곱하면 됐었습니다 그런데 둘째 항에서의 연쇄 법칙은 4－ax가 있으니까 x에 대해 미분하면 －a가 됩니다 그러므로 －a를 곱해 줘야 합니다 그러니 －a가 나오고 앞의 －부호와 상쇄되어 ＋a가 됩니다 ＋a에다가 1/2을 곱하고 4－ax의 －1/2제곱을 곱해 줍니다 이 둘째 항의 도함수를 구하기 위해서 지수 법칙과 연쇄 법칙을 사용했습니다 그럼 이제 이 식은 그럼 이제 이 식은 어떤 수/1 꼴이 됩니다 그러면 분자 부분을 봅시다 x가 0으로 갈 때 이 부분을 보면 4＋0이므로 4의 －1/2입니다 4의 －1/2제곱이니 1/2입니다 4의 1/2제곱은 2이고 4의 －1/2제곱은 1/2입니다 그리고 x가 0으로 가니까 이 부분은 4의 －1/2제곱이 됩니다 다시 한 번 1/2이 됩니다 그러면 이 식이 결국 이 부분은 1/2×1/2이니 1/4이고 첫째 항까지 계산했습니다 둘째 항을 보면 a×1/2×1/2입니다 그러므로 a/4가 됩니다 이 식을 다시 써 보면 (a＋1)/4가 됩니다 이제 이 극한값이 3/4와 같아야 합니다 이제 이 극한값이 3/4와 같아야 합니다 원래 문제의 조건이었습니다 그러니까 (a＋1)/4가 3/4와 같아야 합니다 이제 매우 단순합니다 a가 얼마가 되는지 쉽게 찾을 수 있습니다 a＋1＝3이므로 결국 a＝2입니다 끝났습니다