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주요 내용

로피탈 법칙: 심화 문제

1에서 로피탈 법칙을 사용하여 x/(x-1)-1/lnx의 극한값을 구해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

x가 1로 갈 때 x/(x-1)-lnx의 극한을 구해 봅시다 x/(x-1)-lnx의 극한을 구해 봅시다 그러면 x=1을 그냥 대입했을 때 어떻게 되는지 한 번 보겠습니다 x=1일 때 이 식을 계산하면 먼저 1에다가 1-1을 나눕니다 그러면 1/0꼴이 나오고 여기는 1 나누기 ln1이 되는데 ln1의 값이 어떻게 되는지 보겠습니다 e의 몇 제곱을 해야 1이 되는지 생각해 보면 어떤 수라도 0제곱을 하면 1이 되니 e의 0제곱도 1이 되고 그러므로 ln1=0이 됩니다 그래서 우리는 굉장히 이상한 부정형을 얻게 됩니다 1/0-1/0 꼴입니다 굉장히 기괴하게 생긴 부정형입니다 그런데 이번 부정형은 로피탈의 정리를 배울 때 봤던 부정형이 아닙니다 0/0꼴도 아니고 무한대/무한대 꼴도 아닙니다 로피탈의 정리를 사용할 수 없는 문제가 아닌지 의심되실 겁니다 그래서 이 극한을 조금 다른 방식으로 변형해 보아야 합니다 아직까지 포기하지 마십시요! 이 식을 어떻게 잘 조작해 보면 로피탈의 정리를 사용 가능한 부정형 꼴로 만들 수 있을지도 모르는 일입니다 그런 다음 로피탈의 정리를 쓰면 되니까 말입니다 그러면 이 두 분수를 하나로 합쳐 보면 즉 통분을 해 보면 먼저 분모의 최소공배수를 구해야 합니다 (x-1)lnx가 될 것입니다 분모 둘끼리 곱한 것과 같습니다 이번에는 분자 차례입니다 이 첫 번째 분자에는 lnx를 곱해야 합니다 그러니 xlnx가 되고 이 두 번째 분자에는 x-1을 곱해야 합니다 그러므로 (x-1)을 빼면 됩니다 빼기 (x-1)입니다 이 상태에서 항 두 개를 분리해 보시면 위쪽에 쓴 표현과 똑같아짐을 쉽게 확인할 수 있습니다 여기 네모 친 부분은 x/(x-1)과 같습니다 분자 분모 양쪽의 lnx가 사라지기 때문입니다 헷갈리지 않게 네모 표시를 지우겠습니다 여기 네모 표시한 부분은 1/lnx와 같습니다 분자 분모 양쪽의 x-1이 사라지기 때문입니다 무언가 대단한 것을 한 것처럼 보일 수도 있지만 그냥 두 분수를 통분해서 합친 것에 지나지 않습니다 이제 통분하고 얻은 새로운 식에 x를 1로 보내서 극한을 찾아 봅시다 위의 식과 같은 표현이니까요 별로 신기할 것은 없습니다 이제 분자 부분은 1에다 ln1을 곱합니다 ln1=0이니 이 첫 부분은 0이 됩니다 뒷 부분은 -(1-1)이 되므로 또 0이 나왔습니다 결국 분자는 0이 됩니다 이제 분모 차례입니다 1-1=0이고 여기에다 ln1을 곱해야 합니다 ln1=0이니까 0에다 0을 곱하니 0입니다 이제 됐습니다 로피탈의 정리를 사용할 수 있는 부정형을 얻었습니다 물론 분자 분모를 미분해서 그 극한값이 존재한다는 가정 하에서요 일단 한 번 해 봅시다 만약 그 극한값이 존재한다면 이 극한을 다시 써 보면 분자 분모를 각각 미분을 할 차례입니다 이 분자의 도함수를 구해야 합니다 이 첫 항의 경우는 곱의 미분법을 사용합시다 x의 도함수는 1이고 거기다 lnx를 곱하니 lnx가 됩니다 (첫째 항 미분)×(둘째 항 그대로)를 해 준 것입니다 여기에다 더 더할 것이 남았습니다 둘째 항을 미분한 1/x에 첫째 항을 곱한 것을 더합니다 단순한 곱의 미분법입니다 1/x에다 x를 곱하니 1이 됩니다 그리고 나서 (x-1)의 도함수를 빼 줘야 합니다 x-1의 도함수는 1이니 그냥 1을 빼 주면 됩니다 그러면 분자의 도함수를 구하는 과정이 끝났습니다 그러면 이제 분모를 미분할 차례입니다 첫째 항 (x-1)의 도함수는 1입니다 거기에다가 둘째 항을 곱하니까 lnx가 됩니다 그러고 나서 둘째 항을 미분해야 합니다 lnx의 도함수는 1/x이고 거기다가 (x-1)을 곱합니다 (x-1)을 곱합니다 식을 약간 더 간단하게 정리해 봅시다 1/x에 x를 곱하면 1입니다 거기에다가 1을 빼 버리니 두 개의 1이 사라집니다 그래서 이 전체 식을 다시 써 보면 x가 1로 갈 때 분자는 lnx이고 분모는 lnx+(x-1)/x가 됩니다 이제 이 극한을 계산해 봅시다 이제 만약 x를 1로 보내면 분자 부분 lnx는 ln1=0이니 0이 됩니다 이제 분모 차례입니다 첫째 항은 ln1이니 0이 되고 둘째 항은 (1-1)/1입니다 그러니 또 0을 얻게 되었습니다 1-1=0이니까요 결국 분모는 0+0이 되어 식 전체가 0/0꼴이 됩니다 0/0꼴이 또 나왔습니다 또 다시 로피탈의 정리를 써 보겠습니다 이제 분자의 도함수와 분모의 도함수를 또 구해 봅시다 이 극한을 다시 한 번 써 보면 리미트 x가 1로 갈 때 분자에는 원래 분자의 도함수 1/x를 써 주고 거기에다가 분모의 도함수를 나눠야 합니다 분모의 도함수를 구할 차례입니다 먼저 lnx의 도함수는 1/x이고 거기에다가 (x-1)/x의 도함수를 더해야 합니다 이 식을 1/x 와 (x-1)의 곱으로 생각해 봅시다 이제 곱의 미분법을 쓰면 됩니다 (첫째 항 미분)×(둘째 항 그대로)를 하고서 (둘째 항 미분)×(첫째 항 그대로)를 구해서 더해 주면 됩니다 첫째 항 즉 (x의 -1제곱)의 도함수는 -(x의 -2제곱)입니다 거기에 x-1을 곱해 줍니다 그리고 이번에는 둘째 항을 미분할 차례입니다 1 곱하기 첫째 항 즉 1/x가 됩니다 자 이제 이 식은 이런 컴퓨터에 이상한 창이 떴습니다 약간의 잡음이 있었는데 죄송합니다 어디까지 했었나요? 아 이 식을 정리할 차례입니다 로피탈의 정리를 쓰는 중이었습니다 그럼 이 식은 x=1을 대입해서 계산해 보면 분자 부분은 1/1이니 1이 됩니다 그러면 적어도 부정형 꼴은 절대 나오지 않을 것입니다 분모 차례입니다 x=1을 대입해 보면 첫번 째 항은 1/1 즉 1이고 빼기 1의 -2제곱 1의 -2제곱은 그냥 1이므로 그냥 빼기 1이 됩니다 그런데 여기다가 1-1을 곱하니까 1-1=0이므로 두 번째 항은 사라집니다 거기다 1/1을 한 번 더 더해 줍니다 그러면 1/2이 나옵니다 답을 구해 냈습니다 로피탈의 정리 등 몇몇 과정을 거쳐서 처음에는 0/0꼴처럼 보이지 않았던 극한을 풀어 냈습니다 먼저 두 분수를 합쳐서 0/0꼴 부정형을 얻어 냈고 두 줄에 걸쳐 분자와 분모를 두 번 미분했고 결국 극한값을 얻어 냈습니다