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주요 내용

로피탈 법칙 : 무한대에서의 극한 예제

로피탈 법칙을 사용하여 무한대에서 (4x²-5x)/(1-3x²)의 극한값을 구해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

x가 무한대로 갈 때 (4x²-5x)/(1-3x²)의 극한을 구해 봅시다 무한대는 다소 생소한 수입니다 무한대라는 것을 직접 대입해서 결과를 본다는 것은 불가능합니다 그렇지만 x가 무한대로 갈 때 극한을 대략 유추해 보고 싶다면 계산을 해 볼 수는 있습니다 분자가 무한대로 가는 것을 보고 싶다면 x에 굉장히 큰 수를 넣어 보면 됩니다 그러면 분자가 무한대로 가는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다 x가 무한대로 갈 때 분자가 무한대로 갑니다 이번에는 굉장히 큰 수 x를 분모에 대입해 봅시다 분모 역시 분자랑 똑같음을 알 수 있습니다 물론 그냥 무한대는 아닙니다 3x²는 무한대로 가지만 -가 붙기 때문입니다 유한한 수에 무한대를 빼면 -무한대가 됩니다 결론적으로 극한이 어떻게 될지 대략 유추해 본 결과 분자 부분은 양의 무한대가 되고 분모 부분은 음의 무한대가 됩니다 그러면 이렇게 쓸 수 있습니다 무한대/-무한대 꼴입니다 꼴을 보면 우리가 배운 부정형 중 하나입니다 따라서 로피탈의 정리를 적용할 수 있을 것입니다 이런 간단한 문제를 무슨 로피탈의 정리까지 써 가면서 푸느냐 하실 수도 있습니다 저는 이 문제를 로피탈의 정리를 쓰지 않고 푸는 법을 알고 있고 여러분도 풀 수 있을 것입니다 당연히 그럴 것입니다 몇 초만에 해결될 것입니다 단지 저는 로피탈의 정리도 이런 종류의 문제에 적용할 수 있다는 것을 보여드리고 싶었습니다 또 무한대/무한대 꼴의 부정형 극한의 예시도 보여드리고 싶었습니다 이 문제에는 로피탈의 정리를 써 봅시다 분자 분모를 각각 미분해서 극한값이 존재한다면 위 극한값은 이렇게 쓸 수 있습니다 x가 무한대로 갈 때 분자 자리에는 원래 분자의 도함수가 들어갑니다 그럼 먼저 분자 부분의 도함수를 구해 봅시다 4x²-5x의 도함수는 8x-5가 됩니다 이번에는 분모를 미분해 봅시다 일단 1의 도함수는 0이고 -3x²의 도함수는 -6x입니다 다시 한 번 x가 무한대로 갈 때의 극한을 계산해 보면 분자는 무한대로 가고 분모는 -무한대로 갑니다 -6 곱하기 무한대는 -무한대이기 때문입니다 그러므로 분모 부분은 -무한대로 갑니다 다시 로피탈의 정리를 써 봅시다 분자 분모를 미분해서 극한값이 존재하면 즉 이 분자를 미분한 식에 이 분모를 미분한 식을 나눠서 극한값이 존재하면 그 값이 구하는 극한값과 같습니다 x가 무한대로 갈 때 8x-5의 도함수는 8이고 -6x의 도함수는 -6입니다 이 식에 상수밖에 남은 것이 없게 되었습니다 여기서는 더 이상 x의 극한을 취할 필요가 없어졌습니다 그냥 이 값을 그대로 옮겨 줍니다 이 숫자를 그냥 복사하기에는 찝찝하니 최대공약수를 고려해서 기약분수로 만들어 주면 -4/3이 됩니다 그러므로 이 극한값은 존재합니다 원래는 부정형이었는데 이 분자의 도함수에 이 분모의 도함수를 나눠서 극한값이 존재하기 때문에 이 극한의 극한값도 -4/3입니다 같은 논리로 저 극한값도 -4/3이 됩니다 로피탈의 정리를 쓰지 않고도 푸는 법을 앞에서 이미 배웠는데 왜 이렇게 푸는지 의문을 가지실 수 있습니다 맞습니다 분자 분모를 각각 x²로 묶어내면 됩니다 정확히 맞는 풀이입니다 이곳에 바로 써 보겠습니다 문제의 해법이 하나만 있는 것이 아니라는 것을 보여드리기 위해서입니다 세상에 극한을 구하는 방법이 로피탈의 정리 하나만 있지는 않습니다 그리고 솔직히 말해서 이런 문제는 저도 맨 처음 문제를 봤을 때 로피탈의 정리를 쓰려고 하지는 않았을 겁니다 자 첫 번째 극한 즉 x가 무한대로 갈 때 (4x²-5x)에다 (1-3x²)을 나눈 것의 극한은 여기 작은 선을 하나 긋겠습니다 저 왼쪽의 식들과 구분하기 위해서요 리미트 x가 무한대로 갈 때 분자와 분모 각각에 대해 x²을 빼내 봅시다 그러면 분자는 x²을 묶어내고 4-5/x가 됩니다 x²에다 5/x를 곱하면 5x니까요 분모도 x²으로 묶어 줍니다 그러면 x²을 묶어내고 1/x²-3이 됩니다 그러면 이 두 개의 x²이 사라집니다 그러면 다시 써 보면 x가 무한대로 갈 때 (4-5/x)/(1/x²-3)의 극한입니다 이제 이 극한을 살펴봅시다 x가 무한대로 갈 때 5/x 항은 0이 됩니다 엄청나고 또 엄청나게 큰 수가 분모에 있기 때문입니다 0이 됩니다 정확히는 0에 매우 가까워집니다 그리고 같은 이유로 이 부분도 0으로 접근합니다 남은 것은 4와 -3밖에 없습니다 결국 얻게 되는 답은 -4/3이 됩니다 그래서 사실 이 문제는 로피탈의 정리를 쓰지 않아도 되는 그런 문제였습니다