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주요 내용

로피탈 법칙: 0에서의 극한 예제

로피탈 법칙을 사용하여 0에서 (2sin(x)-sin(2x))/(x-sin(x))의 극한값을 구해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

x가 0으로 갈 때 (2sinx-sin2x)/(x-sinx)의 극한을 구해 봅시다 (2sinx-sin2x)/(x-sinx)의 극한을 구해 봅시다 극한 문제를 풀 때 맨 첫 번째로 해 봐야 하는 것이 있습니다 그냥 x=0을 대입해 보는 것입니다 아무 문제 없이 답이 잘 나올 수도 있으니 일단 한번 시도해 보겠습니다 x=0을 대입한다면 2sin0은 0이고 sin2x에 0을 대입해서 빼 줍니다 sin0을 빼는 것과 같으므로 결국 0이 됩니다 따라서 분자의 값은 0이 됩니다 따라서 분자의 값은 0이 됩니다 분모에 sin0이 하나 더 보이니까 0을 넣어 봅시다 앞에도 0이 보이고 다 0입니다 결국 분모도 0-sin0이니까 값이 0이 됩니다 저번 영상에서 0/0꼴 부정형을 배우셨으니 우리는 이 식이 부정형이라는 것을 알 수 있습니다 그러니 여기 로피탈의 법칙을 사용할 수 있을 것 같습니다 로피탈의 법칙을 사용하기 위해서는 x가 0으로 갈 때에 위쪽 함수의 도함수에 아래쪽 함수의 도함수를 나눈 극한이 존재해야 합니다 한번 로피탈의 법칙을 써 봅시다 분자 분모 각각에 도함수를 취해서 극한값이 나오는지 봅시다 만약 극한값이 나온다면 그 값이 우리가 구하는 답입니다 그 극한값이 있다고 가정해 봅시다 그러면 그 값은 x가 0으로 갈 때 위쪽 식의 분자 분모의 도함수를 나눠서 극한값을 구한 것과 같습니다 그럼 먼저 분자의 도함수는 새로운 색깔로 써 보겠습니다 초록색으로 써 보겠습니다 2sinx의 도함수는 2cosx입니다 그리고 sin2x의 도함수를 빼야 합니다 도함수가 2cos2x 이므로 2cos2x를 빼면 됩니다 연쇄 법칙을 사용하면 sin2x에서 속에 있는 2x를 미분하면 2니까 밖에 2를 곱해주고 밖에 있는 부분을 미분하면 cos2x이므로 원래 있던 빼기만 붙여주면 이것이 바로 분자의 도함수입니다 그러면 이제 분모의 도함수를 구해 봅시다 x를 미분하면 1이고, sinx를 미분하면 cosx입니다 즉 분모의 도함수는 1-cosx 입니다 이제 이 식의 극한값을 구해 봅시다 이제 이 식의 극한값을 구해 봅시다 이 식에 x=0을 대입해 봅시다 앞의 2cos0을 계산해 봅시다 2 곱하기 cos0을 합니다 cos0=1입니다 그러면 분자는 2-2cos(2×0)이므로 분자는 0이 됩니다 분자와 분모 각각의 극한값을 계산하고 있습니다 분자와 분모 각각의 극한값을 계산하고 있습니다 2cos0은 2이고 2cos2x에 0을 넣어서 빼야 합니다 2 곱하기 0은 여전히 0이니 2cos0 즉 2를 빼 줍니다 분자 전체를 1-cos0로 나누는데 cos0이 1입니다 다시 한번 우리는 0/0을 얻게 됩니다 극한값이 없다는 것을 의미하는 것처럼 보일 수도 있지만 존재할 수도 있습니다 로피탈의 법칙을 한 번 더 사용해 보고 싶어집니다 이 식의 분자와 분모를 한번 더 미분을 한 후에 극한을 구해 봅시다 어쩌면 이번에는 로피탈의 정리가 답을 구해 줄지도 모릅니다 어떻게 될지 한 번 봅시다 이번 문제에 로피탈의 법칙이 적용이 된다면 로피탈의 정리로 얻은 값이 우리가 구하는 답이 될 텐데 구해질지는 100% 확실하지는 않습니다 x가 0으로 갈 때 분자의 도함수에 분모의 도함수를 나눠서 얻은 극한값과 같게 되겠죠 그러면 2cosx의 도함수는 일단 cosx를 미분하면 -sinx가 됩니다 그러므로 2cosx의 도함수는 -2sinx입니다 또 cos2x의 도함수는 -2sin2x가 되므로 -(-2)로 (-)부호가 두번 붙으니 (-)부호가 사라지고 2 곱하기 2를 하면 +4sin2x가 될 것입니다 제대로 계산했는지 보겠습니다 -2가 앞으로 빠지니까 cos2x의 도함수는 -2sin2x가 됩니다 원래 있던 2를 곱하면 4가 되고 -가 두번 곱해지므로 +가 됩니다 양의 부호를 얻게 됩니다 최종적으로 4sin2x가 됩니다 도함수를 취해서 분자를 구해 냈습니다 이제 분모 차례입니다 간단한 도함수 예제에 불과합니다 분모의 도함수는 1을 미분하면 0입니다 -cosx를 미분하면 sinx가 됩니다 이 식의 극한을 구해 봅시다 x=0을 대입하게 되면 바로 분모가 0이 되는 것이 눈에 보입니다 sin0은 0이니까 당연합니다 분자는 어떻게 되는지 보겠습니다 -2에다 sin0을 곱하므로 0이 됩니다 이제 4×sin(2×0)을 더해야 합니다 sin0은 0이므로 또 0이 됩니다 결국 또다시 0/0꼴 부정형을 얻게 됩니다 망한 것입니까? 포기해야 합니까? 로피탈의 법칙을 사용할 수 없는 겁니까? 아니죠 쓸 수 있습니다 맨 처음부터 문제가 이렇게 주어졌다고 생각해 보면 즉 만약 우리가 맨 처음 이 극한을 봤다면 부정형 꼴의 극한이므로 로피탈의 법칙을 사용할 수 있다고 했을 것입니다 분자와 분모가 둘 다 x가 0으로 갈 때 0의 값을 가지기 때문입니다 그러니까 다시 한번 도함수를 구해봐야 합니다 이번에야말로 x가 0으로 갈 때 만약 극한값이 존재한다면 그게 답입니다 이번에야말로 x가 0으로 갈 때 만약 극한값이 존재한다면 그게 답입니다 분자의 도함수를 구해 봅시다 -2sinx의 도함수는 -2cosx입니다 여기에 4sin2x의 도함수를 더합니다 2 곱하기 4는 8이기 때문에 8cos2x를 더하면 됩니다 sin2x의 도함수는 2cos2x이므로 앞의 2를 4에 곱하게 되면 8을 얻습니다 분모의 도함수를 구할 차례입니다 sinx의 도함수는 cosx입니다 이제 이 식을 살펴보도록 하겠습니다 뭔가 식의 모양이 좋아 보입니다 로피탈의 정리 적용은 드디어 끝나게 되었습니다 x가 0으로 갈 때 cosx의 극한을 보시면 cos0가 1이니 우리는 확실히 이제는 0/0꼴 부정형을 얻지는 않을 것 같습니다 분자는 어떻게 되는지 보겠습니다 -2cos0이 보입니다 cos0은 1이기 때문에 -2가 됩니다 여기에 8cos2x를 더하면 x가 0으로 가니 cos0을 곱해야 합니다 cos0은 1이므로 8을 더하면 됩니다 즉 (-2)+8이 됩니다 (-2)+8=6이니 그럼 최종적으로 6/1이 되네요 극한값 6을 얻습니다 이번이 로피탈의 정리를 적용하는 마지막 단계였습니다 만약 이 문제가 우리에게 처음 주어졌다면 극한을 구할 때 분자의 극한도 0이고 분모의 극한도 0이 되고 또한 분자의 도함수를 분모의 도함수로 나눠서 극한을 구하면 극한값이 존재하고 그 값이 6입니다 그래서 이 극한값도 6이 된다고 말할 것입니다 이 식의 극한값이 6이라면 동일한 논리로 이 식도 6의 값을 가지고 또 다시 같은 논리로 이 식의 극한값도 6이 됩니다 자 이제 끝났습니다 최종 답은 6이 됩니다