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동영상 대본

이번 시간에는 이번 시간에는 까다로운 극한 문제를 풀어봅시다 이제 시작해볼까요 x가 0으로 갈 때 sin x의 sin x의 sin x의 1/ln x 제곱을 합시다 영상을 잠시 멈추고 직접 푸는 시간을 가져보세요 이 문제는 조금 어려워요 못 풀었다고 기죽지 마세요 이 식을 주목해봅시다 이 식을 주목해봅시다 이 식을 주목해봅시다 극한을 생각해봅시다 x가 0으로 갈 때 sin x의 극한은 얼마일까요? 굉장히 간단하죠 0입니다 그러면 이 부분은 0이라고 할 수 있죠 이번에는 지수를 볼까요 x가 0으로 갈 때 1/ln x 의 극한은 얼마일까요? 1/ln x 의 극한은 얼마일까요? 로그는 양수 범위에서만 로그는 양수 범위에서만 정의 가능하므로 정의 가능하므로 x가 0 이상일 때만 생각합시다 x가 0 이상일 때만 생각합시다 이 식의 우극한을 생각하면 이 식의 우극한을 생각하면 ln x는 매우 큰 음의 값을 가집니다 ln x는 매우 큰 음의 값을 가집니다 즉 이 식의 분모는 음의 무한으로 가는 것이죠 음의 무한으로 가는 것이죠 분수 전체를 생각해보면 분수 전체를 생각해보면 음의 무한을 분모로 가지기 때문에 0에 한없이 가까워집니다 그러므로 이 식의 극한은 0이 됩니다 0이 됩니다 별로 중요하지 않은 것 같군요 지수가 0으로 가고 밑도 0으로 가니깐요 다음과 같이 표현 가능합니다 다음과 같이 표현 가능합니다 매우 흥미로운 식이죠 매우 흥미로운 식이죠 이 값이 0이 될 수도 1이 될 수도 있습니다 그러나 정확한 해를 알 수는 없죠 우리는 전 시간에 로피탈의 정리를 배웠습니다 아직 잘 모르겠다면 로피탈의 정리를 설명한 전 영상을 다시 보고 오세요 로피탈의 정리는 부정형이 나왔을 때 편리하게 사용할 수 있어요 예를 들어 0 / 0 무한 / 무한 -무한 /-무한 같은 꼴이 있죠 지금 이 문제는 0의 0제곱꼴입니다 지금 배운 꼴과는 조금 다르죠 맞아요 이 식에는 로피탈의 정리를 사용할 수 없습니다 사용할 수 없습니다 로피탈 정리는 0의 0제곱에 적용할 수 없지만 이 식을 조금 변형해서 로피탈의 정리를 쓸 수 있게 만들면 풀 수 있죠 만들면 풀 수 있죠 이게 가장 까다로운 부분입니다 쉽게 설명하면 쉽게 설명하면 쉽게 설명하면 y를 설정해봅시다 x에 대한 함수 y를 x에 대한 함수 y를 다음과 같이 정의합시다 다음과 같이 정의합시다 다음과 같이 정의합시다 맨 처음 식에서 x가 0으로 갈 때 극한은 이 식에서 y의 극한을 찾는 것과 같습니다 그러나 0의 0제곱은 알 수 없습니다 여기서 한 가지 트릭을 알려줄게요 여기서 한 가지 트릭을 알려줄게요 극한이나 도함수를 구할 때 극한이나 도함수를 구할 때 양변에 로그를 취하면 꽤 유용한 식이 나옵니다 양변에 로그를 취하면 어떻게 될까요 양변에 로그를 취하면 어떻게 될까요 우선 좌변은 로그를 취하니 ln y가 됩니다 로그를 취하니 ln y가 됩니다 로그를 취하니 ln y가 됩니다 로그를 취하니 ln y가 됩니다 로그를 취하니 ln y가 됩니다 우변에도 로그를 취해봅시다 차근차근 계산해볼까요 우변에 로그를 취하면 우변에 로그를 취하면 다음과 같이 됩니다 다음과 같이 됩니다 다음과 같이 됩니다 다음과 같이 됩니다 다음과 같이 됩니다 로그 안에 지수가 있으니 로그 안에 지수가 있으니 로그 안에 지수가 있으니 지수를 밖으로 뺄 수 있습니다 다시 정리하면 다시 정리하면 다음과 같이 됩니다 다시 정리하면 양변을 정리하면 양변을 정리하면 양변을 정리하면 양변을 정리하면 양변을 정리하면 양변을 정리하면 양변을 정리하면 다음과 같이 됩니다 다음과 같이 됩니다 이게 무슨 의미일까요 이게 무슨 의미일까요 우선 극한을 구해봅시다 x가 양의 0으로 갈 때 극한은 무엇입니까 x가 양의 0으로 갈 때 ln y가 어떻게 변하는지 생각해봅시다 ln y가 어떻게 변하는지 생각해봅시다 이 부분의 극한이 어떻게 변하는지 확인해봅시다 어떻게 변하는지 확인해봅시다 ln y가 무엇입니까? ln y가 무엇입니까? y가 아니라 ln y 말입니다 이 극한을 구해야 합니다 이 극한을 구해야 합니다 이 극한을 구해야 합니다 이 극한을 구해야 합니다 이 극한을 구해야 합니다 이 극한을 구해야 합니다 이 극한을 구해야 합니다 이 극한을 구해야 합니다 이 극한을 구해야 합니다 우선 분자에 집중해봅시다 로그 안의 값이 0으로 가까워지면서 음의 무한으로 가고 있습니다 이번엔 분모에 집중해볼까요 로그 안의 값이 0으로 가면서 음의 무한으로 가고 있습니다 부정형이 만들어졌습니다 음의 무한 / 음의 무한 꼴이 나왔기 때문에 음의 무한 / 음의 무한 꼴이 나왔기 때문에 이제 로피탈의 정리를 쓸 수 있습니다 이제 로피탈의 정리를 쓸 수 있습니다 그럼 이 극한은 무엇일까요 로피탈의 정리를 사용하면 로피탈의 정리를 사용하면 분자와 분모를 미분합시다 분자와 분모를 미분합시다 분자의 도함수는 분자의 도함수는 합성함수의 도함수를 구해야 하죠 sin x의 도함수는 cos x이고 sin x의 도함수는 cos x이고 ln(sin x)이 도함수는 1/sin x입니다 ln(sin x)이 도함수는 1/sin x입니다 따라서 분자의 도함수는 cos x/sin x 입니다 따라서 분자의 도함수는 cos x/sin x 입니다 이제 분모의 도함수를 구하면 그냥 1/x가 됩니다 그냥 1/x가 됩니다 식을 정리해서 다시 쓰면 식을 정리해서 다시 쓰면 식을 정리해서 다시 쓰면 식을 정리해서 다시 쓰면 식을 정리해서 다시 쓰면 이제 x로 나누겠습니다 x로 나누면 sin x/x 가 나옵니다 sin x/x 가 나옵니다 이제 이 식의 극한을 구해봅시다 이제 이 식의 극한을 구해봅시다 근데 이 꼴도 부정형입니다 근데 이 꼴도 부정형입니다 아까 말했듯이 이 문제는 까다롭습니다 아까 말했듯이 이 문제는 까다롭습니다 전에 두 함수의 곱의 극한이 두 함수의 극한의 곱과 같다고 배운 적이 있습니다 두 함수의 극한의 곱과 같다고 배운 적이 있습니다 이 문제에 적용해봅시다 x가 0으로 갈 때 x가 0으로 갈 때 표시한 부분을 묶어봅시다 표시한 부분을 묶어봅시다 지금 표시하는 부분은 다음과 같이 표현할 수 있습니다 다음과 같이 표현할 수 있습니다 괄호로 두 극한을 구별합시다 괄호로 두 극한을 구별합시다 다른 한 극한은 다음과 같습니다 다른 한 극한은 다음과 같습니다 다른 한 극한은 다음과 같습니다 이 부분의 극한을 먼저 구하면 이 부분의 극한을 먼저 구하면 그냥 x=0을 대입하여 1을 구할 수 있습니다 이번엔 왼쪽을 구해봅시다 생각나는게 있나요? 생각나는게 있나요? 저 극한의 역수는 배운 적이 있죠 역수를 취하면 됩니다 sin x/x가 되죠 sin x/x가 되죠 0 / 0 꼴이 나왔으므로 로피탈의 정리를 써봅시다 흥미로운 전개가 됩니다 흥미로운 전개가 됩니다 이제 x가 0으로 갈 때 같은 방법을 실행합니다 분자를 미분하면 1이 되고 분모를 미분하면 cos x가 됩니다 1 / cos x가 나오네요 1 / cos x가 나오네요 이 값은 1이 됩니다 로피탈의 정리를 사용하여 이 극한을 구했습니다 따라서 이 식의 극한은 1입니다 따라서 이 식의 극한은 1입니다 이 식의 극한도 마찬가지죠 이 식의 극한도 마찬가지죠 이 식의 극한도 마찬가지죠 이 식의 극한도 마찬가지죠 이제 무엇을 알 수 있을까요? 지금 구한 것을 다시 정리하면 지금 구한 것을 다시 정리하면 지금 구한 것을 다시 정리하면 지금 구한 것을 다시 정리하면 지금 구한 것을 다시 정리하면 다음과 같이 됩니다 ln y의 극한이 1이면 y의 극한은 무엇일까요? 우린 이 값이 1이라는 것을 알고 우린 이 값이 1이라는 것을 알고 이 값이 ln y인 것도 알고 있습니다 x가 0으로 갈 때 저 부분의 극한은 x가 0으로 갈 때 저 부분의 극한은 x가 0으로 갈 때 ln y의 극한과 같습니다 x가 0으로 갈 때 ln y의 극한과 같습니다 ln y가 1로 간다면 ln y가 1로 간다면 따로 적어보겠습니다 ln y가 1로 간다면 y는 몇으로 갈까요? 아마 y는 e로 갈 것입니다 아마 y는 e로 갈 것입니다 ln e가 1이기 때문이죠 그럼 y는 e로 가겠군요 이제 다 풀었습니다 y가 무엇을 의미하죠? 이 전체 식을 y라 놓았습니다 x가 0으로 갈 때 y는 몇으로 갑니까 x가 0으로 갈 때 y는 몇으로 갑니까 x가 0으로 갈 때 ln y값을 구했습니다 ln y값을 구했습니다 이건 y가 e로 간다는 것을 의미하죠 그러므로 이 값은 e입니다 그러므로 이 값은 e입니다 sin x와 ln x로 이루어진 식에서 뜬금 없이 e가 나온거 같지만 이 문제를 풀어봤으니 e가 언제든 나올 수 있다는걸 알아둡시다 이 문제는 꽤 멋진 문제입니다