로피탈 법칙 복습

로피탈의 정리는 $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction 또는 $\dfrac{\infty}{\infty}$start fraction, infinity, divided by, infinity, end fraction 꼴의 극한값을 구할 수 있게 하는 방법입니다.

즉, 로피탈의 정리는 $\displaystyle\lim_{x\to c}u(x)=\lim_{x\to c}v(x)=0$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0일 때(또는 두 개의 극한값이 모두 $\pm\infty$plus minus, infinity일 때), $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u(x)}{v(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction를 찾을 수 있게 도와줍니다.

로피탈의 정리는 만약 $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u'(x)}{v'(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction가 존재한다면, 두 극한값은 같다는 것을 말해줍니다:

예를 들어, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{7x-\sin(x)}{x^2+\sin(3x)}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction를 찾아 봅시다.

$\dfrac{7x-\sin(x)}{x^2+\sin(3x)}$start fraction, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, end fraction에 $x=0$x, equals, 0를 대입하면, $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction으로 극한값을 결정할 수 없습니다. 따라서 로피탈의 정리를 사용합시다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}[7x-\sin(x)]}{\dfrac{d}{dx}[x^2+\sin(3x)]}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, 7, x, minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, squared, plus, sine, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, close bracket, end fraction가 존재하기 때문에 로피탈의 정리를 사용할 수 있다는 사실을 잊지마세요.

예를 들어 $\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+2x)^{^{\LARGE\frac{1}{\sin(x)}}}$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript을 찾아 봅시다. 식에 $x=0$x, equals, 0을 대입하면, $1^{^{\Large\infty}}$1, start superscript, start superscript, infinity, end superscript, end superscript 꼴로 극한값을 결정할 수 없습니다.

결과를 더 쉽게 찾기 위해, 자연로그를 취해 봅니다(이것은 합성된 지수함수꼴을 다루는 방법 중에 하나입니다). 즉, $y=(1+2x)^{^{\LARGE\frac{1}{\sin(x)}}}$y, equals, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, start superscript, start superscript, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, end superscript, end superscript이라면, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y)$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis입니다. 이것을 찾게 되면, $\displaystyle\lim_{x\to 0}y$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y을 구할 수 있습니다.

$\ln(y) =\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin(x)}$natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction

$\dfrac{\ln(1+2x)}{\sin(x)}$start fraction, natural log, left parenthesis, 1, plus, 2, x, right parenthesis, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction에 $x=0$x, equals, 0를 대입하면, $\dfrac{0}{0}$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction 꼴로 극한값을 결정할 수 없습니다. 따라서 로피탈의 정리를 사용하여 문제를 풀어봅시다!

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\ln(y)=2$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, 2인 것을 찾았습니다. 이것은 $\displaystyle\lim_{x\to 0}y=e^2$limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, y, equals, e, squared을 뜻합니다.