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주요 내용

변화율을 포함하는 문제 분석하기

미분학은 결국 순간변화율을 구하는게 전부입니다. 실생활 문제를 풀 때 어떻게 사용되는지 배워 봅시다.
함수 f의 도함수 f를 해석하는 방법 중 하나는 f(k)x=k에서 f순간변화율이라는 것입니다. 이 해석이 문장제 문제에서 어떻게 쓰이는지 살펴봅시다.
t초 후, 물탱크를 채운 물의 부피(L)는 함수 V1(t)=23t로 주어졌다고 합시다.
함수의 기울기 23는 변화율을 나타냅니다. 즉, 탱크는 초당 23L의 비율로 채워집니다.
일차함수의 변화율은 항상 상수입니다. 이는 상대적으로 다루기 쉽습니다.
다른 탱크가 있다고 합시다. 부피에 대한 함수 V2(t)=0.1t2은 선형이 아닙니다.
그래프의 성장은 처음에는 점진적이고 끝으로 갈수록 점점 더 가팔라지는 것에 주목합니다. V2의 변화율은 상수가 아닙니다.
V2의 변화율을 분석하고자 한다면, 임의로 주어진 점에서 그 순간변화율에 대하여 논의할 수 있습니다. 함수의 순간변화율은 그 함수의 도함수로 주어집니다.
V2(t)=0.2t
예를 들어, V2(5)=1입니다. 수학적으로, 이는 x=5일 때 V2의 그래프에 대한 접선의 기울기는 1이라는 뜻입니다. 물탱크에 대해서는 이것이 무슨 의미일까요?
접선의 기울기는 특정한 점에서 곡선의 기울기를 나타냅니다. 기울기에서 어떻게 변화율이 주어지는지 이미 살펴보았으므로, 다음과 같이 V2(5)=1을 해석할 수 있습니다:
t=5초일 때, 탱크는 초당 1L의 비율로 채워집니다.
이 해석에 대한 몇 가지 내용에 주목하세요:
우선, 비율의 단위는 초당 L입니다. 도함수의 단위는 항상 독립변수(예: 초)에 대한 종속변수(예: L)의 비율입니다.
두 번째로, 비율은 특정한 점에 대하여 주어집니다(예: t=5초). 이는 그 순간이기 때문입니다. 다른 점에서는 그 비율이 다를 것입니다. 시간의 간격을 보세요. 비율이 일정하지 않습니다.
문제 1.A
문제 1에서 다음 상황을 분석합니다:
린지는 학교에서 집까지 걸어가고 있습니다. t분 후 학교에서 떨어진 거리(m)는 미분 가능한 함수 D로 나타냅니다.
D(t)의 단위는 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

연습문제 2
H는 나무를 심은 t주 뒤의 나무의 높이(cm)입니다.
네 명의 학생들은 이 상황에서 H(5)=3의 의미를 해석합니다.
선생님의 답변과 각 해석을 맞추어 보세요.
1

흔한 실수: 단위 빠트리기, 혹은 단위 오기

명심하기: 적용하는 문제를 분석할 때, 항상 단위를 사용해야 한다는 것을 명심합니다.
예를 들어, 문제 2에서, H는 입력값의 단위는 이고 출력값의 단위는 cm입니다. 그 도함수 H 또한 입력값의 단위가 주이지만, 출력값의 단위는 주당 cm입니다.

또 다른 흔한 실수: "특정 시점에서"가 아닌 "시간 간격 동안"이라는 문구 사용

도함수는 모두 순간변화율에 관한 것입니다. 따라서, 도함수의 값이 주어진 함수의 비율을 해석할 때, 그 비율을 적용하는 경우 특정한 점을 항상 참조해야 합니다.

순간변화율이 포함된 문제 해결하기

다음 문제를 살펴보세요:
카를로스는 처방받은 약을 처음 복용했습니다. t시간 뒤 카를로스의 혈액을 지나는 약의 양(mg)은 다음 함수로 주어집니다:
M(t)=20e0.8t
1시간 후 남은 약의 순간변화율은 무엇일까요?
이 문제를 읽고 먼저 떠올라야 하는 것은 양의 순간변화율을 묻고 있다는 것입니다. 이는 도함수를 사용할 필요가 있다는 뜻입니다.
도함수로 이용할 수 있는 유일한 함수는 M이지만, 우리가 원하는 것이 맞는지 확실히 합니다: M은 시간에 따라 카를로스의 혈액을 지나는 약의 양을 나타내고, 문제는 그 양의 순간변화율에 대하여 묻고 있습니다. 따라서, M이 필요한 것이 맞습니다:
M(t)=16e0.8t
1시간 후 순간변화율을 구해야 합니다. 즉, t=1에서 M을 계산해야 합니다:
M(1)=16e0.87.2
마지막으로, 단위를 잊지 말아야 합니다. M은 주어진 입력값(시간)에 대한 양(mg)을 나타내므로, M의 단위는 시간당 mg입니다.
결론적으로, 1시간 후 남은 약의 순간변화율은 시간당 7.2mg입니다.
연습문제 3
C는 회사의 비밀문서 w파운드를 파쇄하는데 드는 비용(달러)을 나타냅니다.
C(w)=0.001w30.15w2+7.5w
문서의 무게가 10파운드일 때 비용의 순간변화율은 얼마일까요?
정답을 한 개 고르세요:

연습을 더 하고 싶나요? 이 연습문제를 해보세요.

흔한 실수: 도함수 대신 기존 함수로 계산하기

명심하기: 함수 f의 변화율을 묻는 문제를 풀 때, 도함수 f을 찾고자 합니다. 한 점에서의 f를 계산하는 것으로 그 점에서의 f의 변화율에 대한 정보를 알 수 없습니다.