한계비용 & 미분학

어떤 공장을 운영한다고 해봅시다 그리고 운영법을 연구해 왔습니다 매주마다 일주일 단위로 비용이 어떻게 달라지는 지를 함수로 알아볼 수 있습니다 시각화 하기 위해 그림을 한번 그려보겠습니다 비용함수를 이렇게 그릴 수 있습니다 이 축은 비용이 됩니다 이 축은 수량입니다 이것은 수량이고, q라고 합시다 이것은 q축입니다 함수는 이렇게 생겼습니다 저에게 딱 맞게 보입니다 생산이 하나도 없더라도, 저는 고정비를 지불해야 합니다 공장세를 지불해야 합니다 생산량이 없어도 인권비를 지불해야 합니다 매주 고정 지출이 1000달러라고 합시다 그리고 양이 증가함에 따라 비용도 증가합니다 그래서 만약 여기서 100단위를 생산한다고 하면 그러면 비용은 1.300달러가 됩니다 만약 이것보다 더 많이 생산한다면, 비용은 증가함을 알 수 있습니다 그리고 이전보다 훨씬 더 빠른 비율로 증가합니다 비용함수를 경제 재생 목록에서 더 깊이 있게 들여다 봅니다 저는 미적분의 맥락에서 이것에 대한 미분은 어떻게 되는지 알아보고 싶습니다 q에 관한 c의 미분은 어떻게 될까요? 그리고 c의 미분함수에 q의 값을 대입하면 무엇이 될까요? 시각적으로 한번 생각해보면 우리는 접선의 기울기로써 미분을 생각할 수 있습니다 예를 들면, 이 접선은 q가 100일 때입니다 그래서 접선의 기울기를 c의 미분 또는 100에서의 c의 미분값으로 볼 수 있습니다 그럼 이 기울기는 무엇일까요? 기울기는 비용의 변화를 생산량의 변화로 나눈 것입니다 이것이 바로 접선의 기울기입니다 이것이 바로 우리가 미적분학에서 처음 배운 것입니다 우리가 생산량에서 점점 더 작은 변화를 가지면 가질수록 0에 접근하는 생산량의 변화량으로써 극한값을 갖게 됩니다 이 지점에서의 순간변화율을 갖습니다 여기서 생각해봐야 할 것은 순간입니다 이것이 바로 한계 수익점이다 이 지점에서 수량에 대해 비용이 변한다 만약 생산에서 또 다른 원자를 대입하면 어떤 비율로 비용이 증가할까요? 한계 수익점을 말하는 이유는 그것이 일정하지 않는 것입니다 우리의 비용함수가 잘 정렬이 되면 우리는 일정한 기울기를 가지게 될 것입니다 접선은 비용함수 일 것입니다 그러나 여기서의 변화를 살펴봅시다 여기서 생산의 원자는 이 지점의 증가하는 원자보다 훨씬 더 비용이 적게 듭니다 기울기는 더 올라갑니다 아마 이게 맞을 겁니다 아마도 제가 원자재를 사용할 겁니다 그리고 원자재를 많이 사용하면 할수록 원자재는 더 희소해집니다 시장에서 원자재의 값은 계속 올라갑니다 그러나 여러분은 왜 제가 한계수익점에서 비용의 증가율에 관심을 갖는지를 물어볼 수 있습니다 이것이 바로 한계 비용이라고 부르기 때문입니다 여러분이 관심을 가져야 하는 이유는 제가 언제 생산을 중단할 지를 알려고 하는 것입니다 이것이 오렌지쥬스라고 합시다 1갤런을 생산하기 위해 5달러의 비용이 든다는 것을 압니다 그리고 저는 이것을 6달러에 팔 겁니다 만약 이 지점이라면 저는 이미 많은 양을 생산했고 모든 오렌지를 시장에서 빼내서 다른 반대편 지역으로 오렌지를 운반해야 합니다 만약 증간된 오렌지나 오렌지쥬스의 생산비용이 10달러라고 한다면 그리고 6달러 이상으로 이것들을 팔 수 없다면 더 이상 생산할 이유가 없어집니다 미적분의 맥락에서, 또는 경제학측면에서 비용을 수량의 함수로 모델링 할 수 있다면 이것의 미분이 바로 한계비용입니다 이것이 증가하는 단위에 대한 비용이 증가하는 비율입니다 그리고 이것들은 비슷한 생각들입니다 만약 수량의 함수로써 이익을 모델링한다면 우리가 이것을 미분한다면, 이것이 한계 이익이 됩니다 만약에 우리가 수익을 모델링한다면 그것은 한계 수익이 됩니다 한계 수량을 증가시키고, 우리가 투입을 증가시킬 때 함수가 얼마나 증가할까요?