음함수의 이계도함수: 식 구하기

y² - x² = 4라는 방정식이 있다고 합시다 y² - x² = 4라는 방정식이 있다고 합시다 y² - x² = 4라는 방정식이 있다고 합시다 목표는 x에 대한 y의 이계도함수를 구하는 것입니다 x와 y에 대한 방정식을 구하려고 합니다 x와 y에 대한 방정식을 구하려고 합니다 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 좋습니다 같이 해봅시다 y에 대해 풀어서 평소에 쓰던 방식을 사용하려 할 수도 있는데 y가 제곱이라서 양이나 음의 제곱근이 생길 수 있습니다 음함수 미분을 사용할 수 있다는 걸 눈치 챈 사람들도 있을텐데 음함수 미분은 연쇄법칙의 응용입니다 그럼 해 봅시다 x에 대한 y의 일계도함수를 먼저 구해봅시다 x에 대한 y의 일계도함수를 먼저 구해봅시다 그건 양변의 x에 대한 도함수를 구하면 됩니다 그건 양변의 x에 대한 도함수를 구하면 됩니다 그럼 무엇을 얻나요? y²의 x에 대한 도함수는 연쇄법칙을 사용하겠습니다 먼저 y²의 y에 대한 도함수를 구합니다 먼저 y²의 y에 대한 도함수를 구합니다 이는 2y입니다 그리고 x에 대한 y의 도함수를 곱해 줍니다 다시 말하지만 연쇄볍칙을 사용했습니다 그리고 나서 x에 대한 x의 도함수는 무엇인가요? 2x를 빼줍니다 마지막으로 x에 대한 상수의 도함수는 무엇인가요? 변하지 않으니 0입니다 좋습니다 이제 x에 대한 y의 도함수를 구할 수 있습니다 해 봅시다 2x를 양변에 더하면 2y ᐧ dy/dx = 2x가 됩니다 2y ᐧ dy/dx = 2x가 됩니다 2y ᐧ dy/dx = 2x가 됩니다 이제 양변을 2y로 나누면 이제 양변을 2y로 나누면 x에 대한 y의 도함수는 x에 대한 y의 도함수는 x / y입니다 이제 다음 단계는 이 둘의 x에 대한 도함수를 구하는 것입니다 그러면 x에 대한 y의 이계도함수를 구할 수 있을 것입니다 그렇게 하기 편하도록 이것을 다시 쓰겠습니다 저는 한상 몫의 법칙을 잊곤 합니다 기억해 놓으면 좋을텐데 말이죠 하지만 이것을 곱으로 바꾸면 도움이 될 것입니다 이것을 다시 쓰면 dy/dx = xy^-1입니다 이것을 다시 쓰면 dy/dx = xy^-1입니다 이것을 다시 쓰면 dy/dx = xy^-1입니다 이것을 다시 쓰면 dy/dx = xy^-1입니다 이제 이계도함수를 구하려면 양변에 미분 기호를 적용합니다 양변에 미분 기호를 적용합니다 x에 대한 도함수입니다 왼쪽은 바로 구하고자 했던 것입니다 왼쪽은 바로 구하고자 했던 것입니다 x에 대한 y의 이계도함수이죠 오른쪽에는 무엇이 될까요? 곱의 공식을 적용할 수 있습니다 먼저 x에 대한 x의 도함수는 1이고 1에 나머지인 y^-1을 곱한 값입니다 1에 나머지인 y^-1을 곱한 값입니다 1에 나머지인 y^-1을 곱한 값입니다 그리고 x에 y^-1의 도함수를 곱한 값을 더해줍니다 x에다 x에다 y^-1의 도함수는 무엇일까요? 먼저 y에 대한 y^-1의 도함수를 찾아야 합니다 먼저 y에 대한 y^-1의 도함수를 찾아야 합니다 멱의 법칙을 사용하겠습니다 (-1)y^-2입니다 (-1)y^-2입니다 그리고 이것을 x에 대한 y의 도함수로 곱하면 됩니다 연쇄법칙으로요 dy/dx를 곱해 줍니다 x에 대한 y의 도함수는 알고 있습니다 x에 대한 y의 도함수는 알고 있습니다 이미 풀어 놓았죠 x/y입니다 이건 x/y가 되고 이 공식을 간단히 하기만 하면 됩니다 이것은 무엇과 같냐면 힌 부분씩 하겠습니다 이 부분은 1/y입니다 나머지 모두는 간단히 할 수 있는지 봅시다 이 음수 부호를 앞으로 빼고 분자는 x와 x의 곱이고 이것을 y²으로 나누고 다시 y로 나눕니다 따라서 -x²/y³이 됩니다 따라서 -x²/y³이 됩니다 -x^2y^(-3)이라고 할 수도 있습니다 -x^2y^(-3)이라고 할 수도 있습니다 다 했습니다 x와 y로 이루어진 x에 대한 y의 이계도함수를 찾았습니다 x에 대한 y의 이계도함수를 찾았습니다