음함수의 이계도함수: 도함수 계산하기

2015년 AP Calculus AB 시험에서 가져온 문제입니다 방정식 y³ -xy = 2로 나타낼 수 있는 곡선이 있습니다 dy/dx는 이것과 같습니다 dy/dx는 이것과 같습니다 이미 풀어 주었네요 파트 a와 b는 생략하고 파트 c는 파트 a와 b는 생략하고 파트 c는 x = -1, y = 1일 때 곡선 위 점에서 d²y/dx²를 구하라고 합니다 곡선 위 점에서 d²y/dx²를 구하라고 합니다 동영상을 멈추고 풀어보세요 이제 같이 해봅시다 일계도 함수를 먼저 적어보겠습니다 x에 대한 y의 도함수 dy는 x에 대한 y의 도함수 dy는 y/(3y² - x)입니다 y/(3y² - x)입니다 이계도함수에 관련된 게 있다면 이계도함수에 관련된 게 있다면 양변의 x에 대한 도함수를 구하면 됩니다 양변의 x에 대한 도함수를 구하면 됩니다 그렇게 해 봅시다 양변에 미분 기호를 써 주고요 양변에 미분 기호를 써 주고요 왼쪽은 당연히 d²y/dx²입니다 d²y/dx²입니다 하지만 오른쪽은 어떨까요? 이걸 접근하는 여러 방법이 있습니다 이 경우엔 함수의 몫의 미분법이 아마 가장 좋은 방법일 것입니다 이 경우엔 함수의 몫의 미분법이 아마 가장 좋은 방법일 것입니다 저는 몫의 미분법이 곱의 미분법의 변형일 뿐이라고 생각할 때가 있는데 이런 경우에는 꽤 쓸만 합니다 기억해보면 이것은 무엇과 같냐면 x에 대한 분자의 도함수 x에 대한 분자의 도함수 바로 x에 대한 y의 도함수에 바로 x에 대한 y의 도함수에 분모를 곱해 줍니다 (3y² - x)이죠 여기에 분자 y와 x에 대한 분자의 도함수를 곱한 후 빼준 것입니다 x에 대한 분모의 도함수는 무엇일까요? x에 대한 분모의 도함수는 무엇일까요? x에 대한 3y²의 도함수는 y에 대한 3y²의 도함수에 y에 대한 3y²의 도함수에 6y죠 여기 멱의 법칙을 사용하겠습니다 x에 대한 y의 도함수를 곱한 것입니다 이것의 x에 대한 도함수를 구한 것 뿐입니다 이것의 x에 대한 도함수를 구한 것 뿐입니다 그건 y에 대한 이것의 도함수에 x에 대한 y의 도함수를 곱한 것입니다 연쇄법칙에서 가져온 것입니다 여기서 x에 대한 도함수인 1을 빼줍니다 여기서 x에 대한 도함수인 1을 빼줍니다 몫의 미분법을 사용하고 있으니 이 모두를 몫의 미분법을 사용하고 있으니 이 모두를 몫의 미분법을 사용하고 있으니 이 모두를 분모의 제곱으로 나누어야 합니다 이 모두를 (3y² - x)²으로 나누어 줍니다 운 좋게도 이걸 한 점에서 계산하라고 합니다 대수학적으로 간단히 만드는 것 대신에요 대수학적으로 간단히 만드는 것 대신에요 따라서 이렇게 말할 수 있습니다 따라서 이렇게 말할 수 있습니다 따라서 이렇게 말할 수 있습니다 따라서 이렇게 말할 수 있습니다 x = -1이고 y = 1일 때 x = -1이고 y = 1일 때 x = -1이고 y = 1일 때 먼저 dy/dx는 무엇일까요? 먼저 dy/dx는 무엇일까요? x에 대한 y에 도함수는 x에 대한 y에 도함수는 x에 대한 y에 도함수는 x에 대한 y에 도함수는 1/(3 + 1)입니다 1/(3 + 1)입니다 1/(3 + 1)입니다 1/4이죠 1/4과 같습니다 이 방정식 전체를 다시 쓰면 d²y/dx²는 d²y/dx²는 이건 1/4인 것을 알고 여기에 3 x 1²인 3과 3 x 1²인 3과 -1을 빼면 +1을 곱하고 이게 -1이니 음수 부호만 놓아두겠습니다 6 x 1을 곱하고 1/4을 곱합니다 써 보죠 6 x 1과 1/4을 곱합니다 -1도 다시 쓰고 이 모든 것을 이건 3y²인데 y는 1이니까 3입니다 -1을 빼면 +1이 되고 제곱합니다 이건 무엇이 될까요? 간단히 해보면 1/4에 4를 곱하면 1입니다 이건 1 1/2에서 -1을 뺀 것이니 1/2입니다 이 모두를 16으로 나누어 줍니다 이것은 무엇과 같냐면 이것은 무엇과 같냐면 1 - 1/2은 1/2이고 1 - 1/2은 1/2이고 16으로 나누면 1/32와 같습니다 다 했습니다