합성 함수의 미분법으로 sec(3π/2-x)의 도함수 구하기 예제

y=sec⁡(3π/2-x)입니다 y=sec⁡(3π/2-x)입니다 우리는 x=π/4일 때 dy/dx의 값이 무엇인지 즉, 미분값이 무엇인지 알아 봅시다 항상 그렇듯이, 동영상을 멈추고 혼자 해결해 봅시다 여기서 볼 수 있듯, 합성함수입니다 우리는 sec를 구하려는데 단순히 x에 대해 구하는 것이 아닙니다 이것을 x가 정의할 수 있는 또 다른 함수로 볼 수 있습니다 예를 들어 여기 이 부분을 u(x)라고 합시다 그리고 풀어 봅시다 u(x)=3π/2-x라고 한다면 우리는 u'(x)의 값을 구할 수 있습니다 3π/2의 미분값은 0이 되고 3π/2의 미분값은 0이 되고 -x의 미분값은 -1이 될 것입니다 여러분은 그냥 이것을 멱의 법칙이라고 보시면 됩니다 1×(-1)에다가 x의 0제곱을 곱해야 하는데 x의 0제곱은 그냥 1입니다 x의 0제곱은 그냥 1입니다 그래서 이것을 sec(u(x))의 미분값으로 볼 수 있습니다 미분하면 u(x)에 대한 sec의 미분값과 u'(x)의 곱입니다 그러면 sec의 미분은 어떻게 하는지 질문할 것 같습니다 다른 영상들에서 증명을 볼 수 있으니 여러분도 유도해 볼 수 있을 것입니다 sec x = 1/ cos x 이므로 연쇄 법칙을 통해 바로 구해낼 수 있습니다 다른 동영상에 증명이 있습니다 sec x의 미분값은 sin (x) / cos² (x)와 같습니다 sin (x) / cos² (x)와 같습니다 dy/dx를 구하면 dy/dx를 구하면 u(x)에 대한 sec의 미분값 u'(x)입니다 풀어 봅시다 sec u(x)의 미분값 x에 해당하는 곳에 u(x)를 대입합니다 그러면 sin (u(x)) sin(u(x)) u(x) 대신 3π/2 -x로 쓸 수 있지만 그냥 보기 쉽게 u(x)로 쓰겠습니다 그럼 sin (u(x)) / cos² (u(x)) 그럼 sin (u(x)) / cos² (u(x)) 그럼 sin (u(x)) / cos² (u(x)) 그럼 sin (u(x)) / cos² (u(x)) 그럼 sin (u(x)) / cos² (u(x)) 삼각함수의 괄호 부분은 확실히 알아볼 수 있도록 파랑색으로 표시하겠습니다 cos² (u(x)) 즉 u(x)에 대한 sec의 미분값에다 연쇄법칙에 의해서 곱하기 u'(x)입니다 그리고 다시 바꿔 써 보겠습니다 이것은 u(x)에 3π/2 -x를 곧 채워 넣을 것이고 sin (u(x)) / cos² (u(x)) 곱하기 u'(x)에서 u(x)는 3π/2-x입니다 u'(x)는 이미 계산한대로 -1입니다 곱하기 -1로 쓰겠습니다 -1을 앞에다가 써도 되겠지만 지금은 여기 뒤에 그대로 두어서 여러분이 풀이 과정을 쉽게 알아 볼 수 있게 하려고 합니다 여러분이 풀이 과정을 쉽게 알아 볼 수 있게 하려고 합니다 이제 x=4/π를 적용해서 x=4/π를 적용해서 계산해 봅시다 sin (3π/2 - 4/π)에서 3π/2 - π/4의 값은 무엇일까요? cos² (3π/2 - 4/π) 공통 분모를 만들면 6π/4는 3π/2와 같습니다 빼기 π/4 하면 빼기 π/4 하면 5π/4가 됩니다 따라서 sin (5π/4) 따라서 sin (5π/4) 나누기 cos² (5π/4) 그리고 곱하기 -1를 앞쪽에 표시하겠습니다 이제 sin (5π/4)와 cos² (5π/4)는 얼마일까요? 값을 외우지는 않았지만 일단 원을 그려 봅시다 그러면 이 값들을 구할 수 있을 겁니다 단위원을 최선을 다해 그려 보겠습니다 원이 원처럼 생기지 않았지만 용서해 주시기 바랍니다 좋습니다 각도를 기억해 봅시다 라디안을 60분법으로 치환해 봅시다 π/4는 45°입니다 이것은 π/2이고 이것은 3π/4이며 이것은 4π/4이고 이것은 5π/4입니다 여기입니다 단위원에서 교차점으로 보면 이 지점은 x좌표는 -√2/2로 x좌표는 -√2/2로 y좌표는 -√2/2로 y좌표는 -√2/2로 표시할 수 있고 어떻게 이 값으로 표시되는 지는 단위원과 몇 개의 표준각도를 복습해보면 알 수 있습니다 칸아카데미의 삼각법 부분을 보시기 바랍니다 이제 충분합니다 sin은 y좌표에 해당하므로 -√2/2가 됩니다 따라서 이 것은 -√2/2입니다 다음으로 cos은 x좌표에 해당하므로 이 또한 -√2/2가 됩니다 이것은 제곱해야 합니다 (-√2/2)² (-√2/2)² (-√2/2)²는 양의 값이 됩니다 (-√2)²는 2이며 2²은 4입니다 따라서 1/2이 됩니다 분모는 1/2 입니다 분자의 마이너스와 이곳의 마이너스가 상쇄됩니다 따라서 바로바로 분자의 √2/2를 분자의 √2/2를 1/2로 나누는 것은 2를 곱하는 것과 같습니다 따라서 √2가 됩니다 이것은 x가 4/π일때 이 함수 그래프의 접선의 기울기와 같습니다 꽤 흥미진진한 풀이였습니다