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주요 내용

logₐx의 도함수 (a는 1이 아닌 양수)

a≠1인 양수 a에 대해 ln(x)의 도함수와 로그의 밑변환 공식을 이용해 logₐx 의 도함수를 구해 봅시다. 그리고 -3log_π(x)를 미분해 봅시다.

동영상 대본

이전 영상에서 ln(x)의 x에 대한 도함수는 1/x이라는 것을 배웠습니다 이번 영상에서는 다른 영상에서 안 사실들을 이용해 임의의 수를 밑으로 가지는 로그함수의 x에 대한 도함수를 구할 거예요 밑이 a인 로그를 logₐ(x)라고 씁시다 logₐ(x)의 도함수를 구해 봅시다 여기서 중요한 것은 대수학이나 미적분학 수업에서 배우셨을 밑변환 공식을 이용하는 거예요 밑변환 공식을 유도해 봅시다 logₐ(b)에서 밑을 a가 아닌 다른 로그함수로 바꿔봅시다 밑이 c가 되는 로그함수 logₐ(b)는 logc(b) / logc(a)와 같습니다 logₐ(b) = logc(b) / logc(a) 이것은 매우 유용해요 이 공식을 처음 보신 분들은 이를 증명하는 다른 칸아카데미의 영상을 참조하시면 될 것 같아요 밑을 바꾸는 것은 매우 유용합니다 예를 들어 계산기에는 로그 버튼이 있어요 계산기의 로그는 밑을 10으로 하는 로그입니다 계산기에 100을 입력하고 로그 버튼을 누르면 2가 나옵니다 만약 당신이 log100을 보게 되면 밑은 10이라고 생각하면 됩니다 또 계산기에는 밑을 e로 하는 자연로그 ln버튼이 있어요 ln(x)는 밑이 e로 하는 logₑ(x)와 같습니다 밑이 다른 로그 값을 구해야 할 때도 있죠 이럴 때 밑변환 공식을 사용하는 거예요 계산기를 사용해서 밑을 3으로 하는 log₃(8)을 구하려면 계산기에 log(8) / log(3)을 입력해보세요 log(3)은 이렇게 씁시다 이 둘은 다 밑이 10이라는 전제를 두고요 ln(8) / ln(3)을 계산해도 같은 값이 나올 거예요 이것도 계산기로 쉽게 구할 수 있어요 이번 영상에서는 자연로그를 이용하여 도함수를 구하려고 해요 우리는 이미 자연로그의 도함수를 알아요 이 도함수도 x에 대한 도함수를 구하는 것과 마찬가지입니다 밑을 a로 하는 logₐ(x)는 ln(x) / ln(a)로 다시 쓸 수 있습니다 ln(a)는 그냥 숫자로 상수 취급하면 됩니다 이렇게 다시 써 봅시다 (1 / ln(a)) × ln(x) 이것의 도함수는 뭐죠? 상수를 밖으로 뺄 수 있어요 1 / ln(a)는 x와 관련이 없는 상수예요 그래서 1 / ln(a)를 밖으로 빼고 여기에 ln(x)의 x에 대한 도함수를 곱합니다 ln(x)는 1 / x이라는 것을 압니다 ln(x), 바로 여기에 1 / x을 넣습니다 따라서 (1 / ln(a)) × 1 / x과 같게 됩니다 1 / (ln(a)) × x) 로 씁시다 이 사실을 알고 있으면 매우 유용해요 위에서 말한 내용을 알고 있다면 다양한 도함수들을 구할 수 있어요 함수 f(x)가 log₇(x)라고 정의해봅시다 f'(x)는 1 / xln(7)이라는 것을 알 수 있습니다 앞에 상수가 붙어있는 경우 예를 들어 g(x)는 g(x) = -3 × logπ(x)라고 정의해봅시다 밑을 π로 하는 로그에서 π는 숫자로 상수 취급하면 됩니다 밑을 π로 하는 로그 x라고 하면 g'(x)는 1 나누기 상수를 밖으로 빼내야 합니다 g'(x) 는 -3 / (xln(π))입니다 이것은 상수에 x를 곱한 자연로그입니다 바라건대, 이것이 여러분에게 많은 도움이 되기를 바랍니다