합성 함수의 미분법으로 log₄(x²+x)의 도함수 구하기 예제

y가 log4(x²+y)일 때 y가 log4(x²+y)일 때 x에 대한 y의 도함수는 무엇이 될까요 x에 대한 y의 도함수는 무엇이 될까요 이는 합성함수이기 때문에 이는 합성함수이기 때문에 log4x의 도함수만 구하는 것이 아닌 x를 포함하는 이 함수의 도함수를 구해야 합니다 우선 파란 부분을 U(x)라는 함수라고 해봅시다 우선 파란 부분을 U(x)라는 함수라고 해봅시다 우선 파란 부분을 U(x)라는 함수라고 해봅시다 우선 파란 부분을 U(x)라는 함수라고 해봅시다 그렇다면 U(x)=x²+x로 나타낼 수 있습니다 그렇다면 U(x)=x²+x로 나타낼 수 있습니다 그렇다면 U(x)=x²+x로 나타낼 수 있습니다 그렇다면 U(x)=x²+x로 나타낼 수 있습니다 y의 도함수를 구할 때 필요한 U'(x)의 값을 먼저 구해줍시다 U'(x)를 멱의 법칙을 이용해 구해주면 U'(x)를 멱의 법칙을 이용해 지수의 2를 계수에 곱하고 지수를 1 감소시켰습니다 x의 x에 관한 도함수는 1이므로 U'(x)=2x+1로 나타낼 수 있게 됩니다 그리고 log4로 시작되는 식을 그리고 log4로 시작되는 식을 함수 V라고 두었을 때 V(x)=log4(x)라고 표현 가능합니다 V(x)=log4(x)라고 표현 가능합니다 V(x)=log4(x)라고 표현 가능합니다 V(x)=log4(x)라고 표현 가능합니다 그리고 지난 비디오와 같은 방법을 이용해 V'(x)를 구해줄 수 있습니다 log의 밑이 e인 자연로그의 미분형과 똑같이 써준 뒤 log의 밑이 e인 자연로그의 미분형과 똑같이 써준 뒤 약간 보정해주면 됩니다 분자는 1이 되고 분자는 1이 되고 분모는 (ln4)x가 됩니다 분모는 (ln4)x가 됩니다 분모는 (ln4)x가 됩니다 분모는 (ln4)x가 됩니다 분모는 (ln4)x가 됩니다 만약 V(x)가 자연로그를 포함한 함수였다면 x를 분모로 갖고 1을 분자로 갖는 평범한 분수꼴이었을 것입니다 하지만 로그의 밑이 4이기 때문에 기존의 형태와는 다른 함수가 나오게 됩니다 기존의 형태와는 다른 함수가 나오게 됩니다 기존의 형태와는 다른 함수가 나오게 됩니다 우리는 최종식을 분모에 ln4를 곱해줌으로써 얻을 수 있습니다 우리는 최종식을 분모에 ln4를 곱해줌으로써 얻을 수 있습니다 우리는 최종식을 분모에 ln4를 곱해줌으로써 얻을 수 있습니다 우리는 최종식을 분모에 ln4를 곱해줌으로써 얻을 수 있습니다 이제 이 정보들을 이용해 Y를 V에 관한 함수로 표현할 수 있게 됩니다 Y를 V에 관한 함수로 표현할 수 있게 됩니다 Y를 V에 관한 함수로 표현할 수 있게 됩니다 V(x)는 log4(x)이기 때문에 V(x)는 log4(x)이기 때문에 V(x)는 log4(x)이기 때문에 준식을 V(U(x))로 표현 가능합니다 준식을 V(U(x))로 표현 가능합니다 준식을 V(U(x))로 표현 가능합니다 준식을 V(U(x))로 표현 가능합니다 준식을 V(U(x))로 표현 가능합니다 그리고 이는 미분의 연쇄법칙에 의해 그리고 이는 미분의 연쇄법칙에 의해 그리고 이는 미분의 연쇄법칙에 의해 U에 대한 V의 도함수로 표현 가능하고 U에 대한 V의 도함수로 표현 가능하고 이는 곧 V'이 됩니다 그래서 y의 도함수는 U'(x)V'(U(x)) 가 됩니다 U'(x)V'(U(x)) 가 됩니다 U'(x)V'(U(x)) 가 됩니다 U'(x)V'(U(x)) 가 됩니다 V'(U(x))의 값은 무엇이 될까요 우리는 V'(x)의 결과에서 이를 유도해 낼 수 있습니다 V'(U(x))를 얻어내려면 x가 들어갈 곳에 U(x)를 넣어주면 됩니다 x가 들어갈 곳에 U(x)를 넣어주면 됩니다 그래서 이 식은 그래서 이 식은 파란색 식에 대한 초록색 식의 도함수를 계산해주면 됩니다 파란색 식에 대한 초록색 식의 도함수를 계산해주면 됩니다 그래서 이 식은 1을 분자로 하고 (ln4)x를 분모로 가지는 식에서 (ln4)x를 분모로 가지는 식에서 x 대신 U(x)를 대입해준 뒤 x 대신 U(x)를 대입해준 뒤 x 대신 U(x)를 대입해준 뒤 전체에 U'(x)를 곱해주면 됩니다 전체에 U'(x)를 곱해주면 됩니다 U(x)와 U'(x)를 x에 관한 식으로 다시 바꿔주는 과정을 거친다면 분자는 그대로 1이고 (ln4)U(x)에서 U(x)를 x²+x로 바뀌며 x²+x로 바뀌며 x²+x로 바뀌며 곱해준 U'(x)는 곱해준 U'(x)는 2x+1이 됩니다 이를 다시 정리해보면 2x+1을 분자로 갖고 2x+1을 분자로 갖고 2x+1을 분자로 갖고 (ln4)(x²+x)를 분모로 갖는 (ln4)(x²+x)를 분모로 갖는 (ln4)(x²+x)를 분모로 갖는 (ln4)(x²+x)를 분모로 갖는 (ln4)(x²+x)를 분모로 갖는 식이 구해지게 됩니다 이러한 방법으로 이러한 방법으로 y의 x에 관한 도함수를 구할 수 있습니다