aˣ의 도함수 (a는 양수)

이 동영상에서 제가 하고 싶은 것은 지수함수의 도함수에 대한 탐구입니다 우리는 이미 x에 대한 e^x의 미분값이 e^x임을 살펴보았습니다 이는 놀라운 것입니다 e가 특별한 이유들 중 하나입니다 만약 밑이 e인 지수함수를 가지고 있다면 그것의 미분값은 원함수에서의 기울기와 같습니다 하지만 다른 밑을 가질 때를 생각해봅시다 a^x의 x에 대한 미분값을 만약 a가 임의의 상수라면 알 수 있을까요? 알아낼 방법이 있을까요? 혹시 e^x의 미분에 대한 지식을 사용할까요? 만약 약간의 대수와 e의 성질로 다시 쓸 수 있다면 e가 밑인 것으로 볼 수 있을까요? 여러분은 a를 볼 수 있습니다 a가 다시 쓰자면 이렇게 다시 쓰겠습니다 a가 e^(ln a)임을 볼 수 있습니다 만약에 이것이 직관적이지 않다면 여러분이 이것에 대해 다시 생각해보기를 바랍니다 ln a 가 무엇일까요? a의 자연 로그는 e에 지수로 취해 a를 얻기 위한 것입니다 만약에 e의 지수 형태로 얻고 싶을 때 여러분은 a를 얻기 위해 e의 지수형태로 올릴 수 있습니다 그럼 a를 얻을 수 있을 것입니다 이것에 대해 생각해 보겠습니다 이것을 맹신하지 마십시오 이것이 말이 되는 것처럼 보일 수 있습니다 이것은 진짜 로그에 대해 보여줍니다 따라서 우리는 a를 이 표현으로 대체할 수 있습니다 만약 a가 e^(ln a)와 같다면 이것은 x에 대해서 e ^(ln a)의 미분이 될 것입니다 계속 웃는 것으로 표기하였군요 a의 자연로그입니다 이것을 x 제곱할 것입니다 이것을 x만큼 제곱하면 e의 성질으로부터 x에 대한 미분값과 동일할 것입니다 계속하여 색을 칠하겠습니다 만약 제가 e에 지수를 취하면 원래 밑에 지수의 곱을 지수로 취하는 것과 같습니다 이것은 지수의 기본적인 성질입니다 결국 저것은 e에 a의 자연로그 제곱에 x제곱을 한 것과 같습니다 이제 우리는 연쇄 법칙을 사용해서 이 미분을 할 수 있습니다 우리가 할 것은 바깥의 함수의 미분을 취하고 따라서 e^(ln a)x 의 안쪽 함수 즉, (ln a)x에 대한 미분을 구할 것입니다 따라서 이것은 e^(ln a)x와 같을 것입니다 그리고 안쪽의 함수의 x에 관한 미분을 할 것입니다 ln a는 미분이 바로 생각나지는 않을지는 몰라도 상수입니다 따라서 이것은 미분에 영향을 주지 않습니다 3x 였다면 미분값은 x가 될것입니다 만약 이것이 (ln a)x였다면 ln a가 될 것입니다 따라서 이것은 (ln a)e^(lna)^x와 같다는 것을 알 수 있습니다 이렇게 쓰겠습니다 (ln a)e^(lna)^x입니다 이것을 이미 보였으며 이부분이 a이기에 단순화할 수 있습니다 따라서 ln a에 a^x를 곱한 것과 같습니다 매우 간단합니다 따라서 여러분이 e^x의 미분을 구하면 그냥 e^x가 됩니다 만약 여러분이 a^x을 미분하면 단순히 (ln a)a^x가 됩니다 따라서 우리는 이 결과를 이러한 경우에 대한 표현을 e가 아닌 밑에 대해 적용할 수 있습니다 만약 제가 x에 관한 미분을 8*3^x에 대해 하고 싶다면 어떻게 될까요? 이것은 8을 오른쪽의 미분값에 곱한 형태가 될것이며 우리가 방금 본 결과에 의해 밑의 자연로그인 ln3에 곱하는 값이 3^x가 되어 (8ln 3)*3^x의 형태로 표현이 됨을 알 수 있습니다