합성 함수의 미분법으로 7^(x²-x)의 도함수 구하기 예제

y = 7⁽ˣ² ⁻ ˣ⁾라는 함수를 정의해봅시다 y의 x에 대한 도함수는 무엇일까요? 항상 그랬듯이, 비디오를 멈추고 계산해 보세요 당신은 이 함수가 여러가지 색으로 써져 있는 걸 보고 합성함수라는 것을 바로 알아차렸거나 알아차리지 못했다면 합성함수로 보면 돼요 v(x) 함수가 존재하여 7ˣ라고 정의해봅시다 또 다른 u(x) 함수는 x² - x라고 정의해봅시다 그럼 여길 한번 보세요 y는 7에 어떤 수를 제곱한 함수입니다 v(x)의 x에 u(x)를 대입해서 v(u(x))가 됩니다 v(x)의 x자리에 u(x) 전체가 들어가고 그 u(x)는 바로 x² - x입니다 그러므로, y = v(u(x))이고 연쇄법칙으로 y의 x에 대한 도함수를 구할 수 있습니다 여기서 새로운 표기법들을 사용할텐데, v의 u에 대한 도함수가 쓰여지는 걸 보게 될 거예요 v′(u(x))에 u의 x에 대한 도함수, u′(x)를 곱합니다 이것이 첫 번째 방법입니다 우리가 구한 것이 v의 x에 대한 도함수가 아닌 v의 u에 대한 도함수 즉, dv/du에 u의 x에 대한 도함수까지 곱한 것이 문제에서 구하는 답이에요 어떤 함수가 와도, 이 방법을 사용해서 도함수를 구할 수 있습니다 그럼 v의 u에 대한 도함수는 뭐죠? v'(u(x))는 뭘까요? 바로 적용시켜 써봅시다 만약 v(x) 함수가 7ˣ라면 v′(x)는, 밑이 e가 아닌 지수함수를 미분하는 법은 다른 영상에서 다루었습니다 v′(x)는 ln7에 7ˣ를 곱한 것과 같습니다 따라서 v′(u(x))를 구할 때 x자리에는 u(x)가 들어가야 합니다 바로 여기에다 말이죠 여기서 (ln7)7에서 7은 7ˣ이 아니라 v′(u(x))이기 때문에 7⁽ˣ² ⁻ ˣ⁾, 7⁽ˣ² ⁻ ˣ⁾을 곱해야 합니다 그리고 u의 x에 대한 도함수를 곱할 거예요 따라서 u′(x)는 2x - 1이죠 여기다가 2x - 1을 곱해 줍시다 아 이제 됐네요 이것이 바로 y의 x에 대한 도함수예요 이걸 단순화할 수도 있어요 다른 방법으로 다시 표현할 수도 있고요 하지만 중요한 것은 합성함수의 미분을 구하기 위해 즉, y = 7⁽ᵘ⁽ˣ⁾⁾의 미분을 구하기 위해서 공식을 사용해서 x를 u(x)에 대입하고 계산하면 됩니다 최종 답은, ln7에 7⁽ᵘ⁽ˣ⁾⁾를 곱하고 여기에 u′(x)를 곱해주기만 하면 됩니다 다시 한번 말하지만, 이것은 그저 연쇄 법칙의 적용입니다