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주요 내용

합성된 지수함수의 미분 문제 풀기

합성된 지수함수 [ln(x)]ˣ을 미분하고 x=e에서의 도함수를 구해 봅시다. 합성지수함수는 밑과 지수 모두 변수인 함수입니다.

동영상 대본

y를 (ln(x))ˣ이라고 합시다 그리고 y의 x에 대한 도함수를 구해봅시다 동영상을 멈추고 한번 풀어 보세요 여러분이 처음 이 문제를 풀 때는 좀 벅찰 수 있습니다 x제곱된 상수의 도함수를 구하는 법은 이미 알지만 여기처럼 어떤 함수의 제곱의 도함수는 (ln(x))ˣ의 도함수는 어떻게 구해야 할까요? 정답은 로그의 성질을 이용하는 것인데, 그 다음에 음함수 미분법도 약간 사용하겠습니다 먼저 약간의 공간을 두고 이것을 다시 써보겠습니다 이것은 (ln(x))ˣ입니다 먼저 미분을 쉽게 하기 위해 지수 x를 변형시킬 것입니다 그리고 곱의 미분법도 적용하겠습니다 양변에다 자연로그를 취해봅시다 양변에 자연로그를 취합시다 여러분은 이것이 왜 효과적인지 궁금하실거에요 지수가 있는 식에 자연로그를 취하면 여기 적어 보겠습니다 여러분이 기억하실지 모르겠으나 로그의 성질을 이용합니다 로그 또는 자연로그가 있으면 ln(aᵇ)는 b × ln(a)입니다 이건 기본적인 로그 성질입니다 따라서 양변에 자연로그를 취하면 지수x가 앞으로 나올 수 있습니다 그러므로 이 지수x를 앞으로 뺄 수 있습니다 모든 걸 다시 써봅시다 ln(y)는 x × ln(ln(x))입니다 ln(y)는 x는 파랑으로 씁니다 x × ln x × ln 아니네요 x × ln(ln(x)) 입니다 ln(y) = x ln(ln(x)) 여기를 봅시다 양변에 자연로그를 취하고 로그의 성질을 이용해서 이렇게 얻을 수 있었습니다 이제 여러분은 아마 이게 쓸모가 있냐고 물을 겁니다 이제 우리는 이 양변의 도함수를 구할 수 있게 되었습니다 우측 편으로 약간 옮겨 봅시다 이제 미분 기호를 쓸 수 있습니다 이제 다 옮겼습니다 이제 양변의 x에 대한 도함수를 구합시다 도함수를 구하는데 좌변의 x에 대한 도함수를 구하고 우변의 x에 대한 도함수를 구했습니다 이제 좌변에 연쇄법칙을 적용합니다 음함수 미분법은 단지 연쇄법칙의 적용입니다 이것은 바깥 함수의 안쪽 함수에 대한 도함수입니다 따라서 ln(y)의 y에 대한 도함수는 1/y입니다 1/y 곱하기 안쪽 함수의 x에 대한 도함수는 dy/dx입니다 이것은 다소 흥미로운 내용이네요 우변을 약간 변형해보겠습니다 첫 번째로는 곱의 법칙의 적용입니다 따라서 첫 번째 함수(x)의 도함수(1)에 첫 번째 함수(x)의 도함수(1)에 두 번째 함수(ln(ln(x)))를 곱합니다 곱하기 ln(ln(x)) 그 다음에 더하기 첫 번째 함수(x), 즉 x 곱하기 두 번째 함수(ln(ln(x)))의 도함수 곱하기 두 번째 함수(ln(ln(x)))의 도함수 ln(ln(x))의 도함수는 무엇일까요? 분리해서 해봅시다 ln(ln(x))의 도함수를 구하려면 ln(ln(x))의 도함수를 구하려면 여기서 다시 연쇄법칙을 적용합니다 ln(x)에 대한 자주색 함수의 도함수는 1 / ln(x)입니다 여기에 x에 대한 안쪽의 ln(x)의 도함수 즉, 1 / x을 곱합니다 따라서 구해진 값은 1/ (x ln(x))가 됩니다 그러므로 두번째 함수의 도함수는 1 / (x ln(x))입니다 1 / (x ln(x))입니다 x가 지워집니다 이제 1 / y가 남습니다 이것을 파랑으로 써 볼게요 1/y × dy/dx 1/y × dy/dx = ln(ln(x)) + 1/(ln(x)) 여기 ln(ln(x))에 여기 ln(ln(x))에 더하기 1 / (ln(x))를 합니다 더하기 1 / (ln(x))를 합니다 이제 도함수를 풀기 위해 양변에 y를 곱합니다 좌변에 y를 곱하고 우변에 y를 곱하면 무엇을 얻게 될까요? 좌변에서는 y를 곱한 이유인 x에 대한 y의 도함수를 얻습니다 dy/dx를 얻습니다 y는 원래 주어진 함수인 자연로그와 같습니다 여기 다시 써 볼게요 y는 (ln(x))ˣ입니다 따라서, 근본적으로 양변에 (ln(x))ˣ를 곱한 것입니다 약간 복잡하네요 (ln(x))ˣ를 분배하지 말고 제가 쓴대로 다시 써 볼게요 그걸 그냥 두고 좀 복잡하니 긴장되는데요 ln(ln(x)) + 1/(ln(x)) ln(ln(x)) + 1/(ln(x)) ln(ln(x)) + 1/(ln(x))에 곱하기 (ln(x))ˣ 꽤 복잡했네요 x = e일 때 y의 도함수는 무엇일까요? x = e일때 무엇이냐고 물어본다면 x = e를 대입해서 계산해보면 됩니다 만일 원래 질문이 그냥 dy/dx를 물어보는 게 아니라 x = e일 때 dy/dx가 무엇이냐고 물어보는 것이었다면 원래 질문이 그거였다면 계산할 수 있겠습니다 이걸 다 e로 바꿔봅시다 거기에 e, e, e 그리고 거기에도 e 답을 구하기 쉬워지므로 e를 넣습니다 ln(e)는 1이고 (ln(e))⁰은 1이니, 따라서 이것은 0이 됩니다 ln(e) = 1입니다 따라서 전체 식은 0+1/1이 됩니다 즉, 식의 값은 1이고, ln(e) = 1입니다 그리고 1ᵉ에서 1의 어떤 수의 거듭 제곱은 항상 1이니 1ᵉ은 1입니다 함숫값이 깔끔하게 나오는 x값을 대입해보는 게 재밌을 것 같았습니다