합성된 지수함수의 미분

전형적인 미분 문제를 풀어봅시다 y=x^x 일 때 x에 대한 y의 도함수를 구하는 문제입니다 이 문제에서는 지수가 상수가 아니기 때문에 일반적으로 미분할 수 없습니다 이를 푸는 방법은 양변에 자연로그를 취하는 것입니다 이 방법이 앞으로 계속 사용될 것입니다 양변에 자연로그를 취하면 ln y＝ln(x^x) 라는 식을 얻습니다 로그의 성질에 의해 로그 내에 있는 지수를 밖으로 빼내서 다시 쓰면 x ln x라는 식으로 다시 쓸 수 있습니다 다시 적어보죠 처음 식의 양변에 자연로그를 취하면 ln y＝x ln x 라는 식을 얻습니다 이제 양변을 x에 관해 미분합시다 좌변을 x에 관하여 미분하고 우변도 x에 관하여 미분합시다 이제 좌변에서 연쇄법칙을 사용합시다 x에 대하여 미분하면 이 식을 x에 대하여 미분해 봅시다 미분을 하면 dy/dx에 이 전체를 y에 대하여 미분한 값을 곱해야 합니다 ln x를 미분한 값이 1/x이므로 ln y를 y에 관하여 미분하면 1/y가 됩니다 1/y를 곱해줍시다 우변은 미분의 곱 규칙을 사용해 미분하면 첫 번째항을 미분한 1에 두 번째항인 ln x를 곱하고 두 번째 항을 미분한 1/x에 첫 번째 항인 x를 곱합니다 정리하면 (dy/dx)×(1/y)는 ln x＋1과 같습니다 양변에 y를 곱하면 dy/dx는 y곱하기 ln x＋1이 됩니다 y를 고치면 처음 식에 의해 y는 x^x이므로 따라서 y를 x에 관하여 미분하면 (x^x)(ln x + 1)이 됩니다 재밌는 문제입니다 응용 문제로 나오는데 사람들은 이 문제를 보고 양변에 자연로그를 취할 생각을 잘 하지 못합니다 이제 더 어려운 문제를 풀어보죠 이 방법으로 풀어 볼 문제입니다 이 문제를 먼저 푼 것은 이 방법을 익히기 위해서입니다 그러니 더 어려운 문제를 이 방법으로 풀어봅시다 풀 문제는 y가 x^(x^x) 일때 dy/dx입니다 y를 x에 관하여 미분한 것이죠 같은 방식으로 풀어봅시다 이 지수를 없애기 위해 양변에 자연로그를 취합시다 그 후 곱 규칙을 이용합시다 양변에 자연로그를 취합시다 그러면 ln y가 ln x^(x^x)가 됩니다 이 부분이 지수이므로 빼내서 쓰면 x^x에 ln x를 곱한 것이 됩니다 이제 식이 정리되었습니다 ln y=(x^x)ln x로 정리되었습니다 하지만 아직도 불쾌한 x^x가 남아있습니다 쉽게 미분할 방법은 없지만 이미 이 식을 미분한 값은 알고 있습니다 적용만 하면 되죠 다시 자연로그를 취하면 더 복잡해지겠죠 하지만 이미 앞에서 x^x를 미분했습니다 여기 있네요 이 복잡한 식입니다 그러니 그냥 기억해 두고 적용하면 됩니다 이제 해봅시다 미리 풀어보지 않았더라면 더 쉽게 풀 방법이 없었겠죠 아마 계속 자연로그만 취했을 겁니다 더 복잡하죠 하지만 이미 x^x의 도함수를 아니 적용만 하면 됩니다 이제 양변을 미분해줍시다 양변을 미분해줍니다 이 부분은 무시합시다 이 부분을 x에 관하여 미분하려면 ln y를 y에 관하여 미분합시다 그렇게 풀면 1/y에 dy/dx를 곱한 값을 얻습니다 연쇄법칙입니다 미분할 때 배웠죠 좌변은 첫항을 미분한 것에 둘째항을 곱해줍니다 차근차근 해보기 위해 적읍시다 x^x를 x에 관하여 미분한 것에 ln x를 곱하고 여기에 ln x를 미분한 것에 x^x를 곱한 값을 더합시다 우변을 정리해 보면 x^x의 도함수는 앞에서 구했듯이 (x^x)(ln x＋1) 입니다 따라서 이 부분은 이 식을 가져와서 (x^x)(ln x＋1)에 곱해줘야 하는 부분은 ln x입니다 여기 더할 남은 항은 ln x를 먼저 미분하면 (1/x)(x^x)가 쉽게 나옵니다 좌변은 (1/y)(dy/dx)입니다 양변에 y를 곱하면 dy/dx가 y에 이 전체를 곱한 값 즉 y에 (x^x)(lnx＋1)ln x 더하기 (1/x)(x^x) 1/x는 x^(-1)이므로 이 부분은 x^(x-1)이 됩니다 지수를 정리한 것입니다 x^(x-1)으로 쓸 수 있습니다 그리고 y를 고치려면 처음 식을 대입합시다 y는 이 부분과 같습니다 구하는 답은 - 처음 문제는 쉬워 보였지만 이 문제는 문제의 요점을 파악하지 못하면 아주 어려운 문제입니다 - 그래서 dy/dx는 y 즉 x^(x^x) 곱하기 (x^x)(ln x＋1)ln x 더하기 x^(x-1)입니다 누가 생각이나 했을까요 가끔씩 수학은 우아합니다 어떤 식을 미분하면 어떤 깔끔한 식이 나옵니다 예를 들어 ln x를 미분하면 1/x를 얻죠 수학이 그렇게 간단하고 우아한 것은 좋은 일입니다 하지만 가끔씩 어떤 작업을 하면 간단하고 우아해 보였음에도 복잡하고 불쾌한 것을 얻기도 합니다 그래도 흥미로운 문제이긴 하죠 그렇게 수학을 하는 겁니다