역탄젠트의 도함수

tan x를 x에 대해서 미분하면 sec²x 또는 1/cos²x가 된다는 것은 일반적인 사실입니다 이번 영상에서 할 것은 지난 몇 영상에서 했듯이 tan의 역함수의 도함수를 구하는 것입니다 저는 지난 두 영상에서 사용했던 방법을 이용해서 먼저 시도를 해보라고 권하고 싶습니다 y를 tan의 역함수 x 라고 합시다 y를 tan의 역함수 x 라고 합시다 이것은 tan y＝x 라고 하는 것과 같은 말입니다 이것은 tan y＝x 라고 하는 것과 같은 말입니다 제가 지금까지 한 것은 그냥 양변에 tan 를 취해준 것입니다 이제 양변을 x에 대한 도함수로 바꿔봅시다 좌변에서는 합성함수의 미분법을 사용해야 합니다 tan y를 y에 대해서 미분하면 sec² y 즉 1/cos² y 가 됩니다 저는 이 방법을 더 선호합니다 저한테는 이 방법이 조금 더 간단하게 느껴집니다 합성함수의 미분을 사용하면 tan y를 y 에 대해 미분한 것과 y를 x에 대해 미분한 것을 곱해야 합니다 우변에서 x를 x에 대해 미분하면 1이 됩니다 y의 x에 대한 도함수를 구하기 위해서는 양변에 cos² y 를 곱하면 될 것 같습니다 그러면 y를 x에 대해 미분했을 때 cos² y 가 나온다는 것을 알 수 있습니다 앞선 영상에서와 마찬가지로 별로 만족스럽지 않습니다 x에 대한 y의 도함수를 나타낼 때 식이 y로 나타났습니다 우리는 그 식이 x로 표현하고자 하는데 그러기 위해선 이것을 tan y로 나타내야합니다 그리고 tan y＝x 라는 사실을 이용하면 됩니다 그리고 tan y＝x 라는 사실을 이용하면 됩니다 삼각함수의 성질을 이용해야 합니다 그렇게 하면 tan y 대신 x를 쓸 수 있습니다 한 번 해보겠습니다 조금 어려워보입니다 tan y가 주어져서 사실 sin/cos 꼴이 있으면 좋겠지만 여기는 그냥 cos² y 가 있습니다 이것은 지난 두 영상에서 한 것보다 조금 더 난이도가 있습니다 일단 1로 나눠보겠습니다 1로 나누는 건 아무런 영향을 주지 않습니다 이것은 cos² y 를 1로 나눈 것과 같습니다 저는 이것을 혹시 sin 나누기 cos 꼴로 나타낼 수 있는지 보기 위해서 하는 것입니다 그러면 tan 로 나타낼 수 있을 것입니다 1로 나눠보겠습니다 삼각함수 제곱 공식에 의해서 1＝sin² y＋cos² y 입니다 1대신에 sin² y＋cos² y로 적겠습니다 이것은 삼각함수 제곱 공식을 이용한 것인데 사실 그 공식은 단위 원으로부터 유도할 수 있습니다 아무튼 이 식 자체에는 영향을 주지 않습니다 신기하게도 제가 sin 나누기 cos 꼴을 원한다면 그냥 분자와 분모를 cos² y 로 나누면 됩니다 분자에 1/cos² y를 곱하거나 cos² y로 나눠주고 분모를 cos² y로 나누거나 1/cos² y 를 곱해주면 됩니다 그럼 어떻게 될까요? 분자는 위 방법대로 하면 1이 될 것입니다 분모에서는 이것은 1이 될 것이고 sin² y 는 위 방법대로 하면 sin² y/cos² y 가 될 것인데 이것은 제가 원하던 꼴입니다 좀 다르게 적겠습니다 좀 다르게 적겠습니다 이것은 sin y/cos y 를 전체 제곱한 것입니다 tan² y 와 같습니다 tan² y 와 같습니다 왜 이렇게 해야 할까요? x＝tan² y 임을 이용하면 1/(1＋tan² y)는 1/(1＋tan² y)는 1/(1＋x²) 이 됩니다 이제 우리는 x에 대한 y의 도함수를 찾아냈습니다 그 도함수는 1/(1＋x²) 입니다 여기 위에 적을 수 있습니다 이것은 1/(1＋x²)가 됩니다 이것은 1/(1＋x²)가 됩니다