역코사인의 도함수

저번 영상에서 우리는 sin의 역함수 x 의 도함수가 1/√(1－x²) 임을 증명했습니다 1/√(1－x²) 임을 증명했습니다 여러분 지금 이 영상을 잠깐 멈추고 cos 역함수 x 의 도함수를 구해보세요 우리의 목표는 cos 역함수 x의 x에 대한 도함수를 구하는 것입니다 x에 대한 도함수를 구하는 것입니다 무엇과 같을까요? 여러분들이 시도했다고 생각을 하고 시작하겠습니다 지난번 처럼 해보면 y를 이렇게 설정합시다 y는 cos 역함수 x입니다 따라서 이 말은 x＝cos y 라고 하는 것과 같습니다 x＝cos y 라고 하는 것과 같습니다 양변을 x에 대해서 미분해보겠습니다 좌변은 1이 됩니다 그냥 1입니다 우변을 보면 cos y 를 y 에 대해 미분한 결과 즉 －sin y와 dy/dx를 곱한 것이 됩니다 dy/dx를 곱한 것이 됩니다 양변을 －sin y 로 나눠보면 dy/dx 는 1/(－sin y) 입니다 이것은 꽤 만족스러운 결과이지만 도함수에 y가 있습니다 우리는 x로 나타내고 싶습니다 x＝cos y 임을 알고 있으므로 이 아래에 있는 식을 sin y 대신 cos y 로 나타낼 수 있는지 봐야 합니다 지난 영상에서 사용한 삼각함수 공식인 cos² y＋sin² y＝1 을 이용해야 합니다 cos² y＋sin² y＝1 을 이용해야 합니다 그러므로 sin y 는 √(1－cos²y) 와 같습니다 이처럼 삼각함수 제곱 공식을 응용하면 됩니다 －1/√(1－cos²y) 와 같다고 할 수 있습니다 －1/√(1－cos²y) 와 같다고 할 수 있습니다 헷갈리지 않게 하기 위해서 이렇게 적겠습니다 cos y가 뭐였죠? x 이기 때문에 이 식은 －1/√(1－cos²y) 에서 cos y 대신에 cos y 대신에 색을 바꿔서 적겠습니다 cos y 대신에 －1/√(1－x²) 이라고 할 수 있습니다 이제 다 되었습니다 cos 역함수 x의 도함수는 cos 역함수 x의 도함수는 마젠타 색으로 적으면 －1/√(1－x²) 가 됩니다 깔끔하게 완성되었습니다 여기 있는 것은 꼭 알아야 합니다 당연히 우리는 sin의 역함수의 도함수와 비교해봐야 합니다 여기 옆에 놓으면 사인만 다르므로 복사에서 여기 붙여 넣겠습니다 복사에서 여기 붙여 넣겠습니다 복사에서 여기 붙여 넣겠습니다 비교해봅시다 cos의 역함수의 도함수를 보면 여기 마이너스가 있습니다 －1/√(1－x²) －1/√(1－x²) sin의 역함수의 도함수를 보면 마이너스가 없는 것을 제외하면 같은 식이 됩니다