표를 통한 역함수의 도함수 구하기

g와 h는 역함수 관계입니다 역함수 관계가 무엇을 의미하는지 되짚어봅시다 역함수 관계가 무엇을 의미하는지 되짚어봅시다 숫자들의 집합 두 개를 생각합시다 하나는 이쪽에 놓고, 다른 하나는 이쪽에 놓읍시다 첫 번째 집합을 g의 정의역이라고 생각합시다 이 집합 내부의 x에 대해, g는 이 값을 다른 값인 g(x)로 대응시킵니다 이것이 함수 g의 역할입니다 만약 h가 g의 역함수이고 그 반대도 성립한다면 h는 반대로 g(x)를 x로 보냅니다 h는 반대로 g(x)를 x로 보냅니다 h는 반대로 g(x)를 x로 보냅니다 이것이 함수 h가 하는 일입니다 이때 이 점에 주목하면 이 점은 x인 동시에, h(g(x))이기도 합니다 h(g(x))이기도 합니다 이렇게 얻어진 이 식은 정말 유용한 아이디어입니다 따라서 만약 g와 h가 역함수 관계이면 이는 h(g(x)) = x 임을 의미합니다 이는 h(g(x)) = x 임을 의미합니다 아니면 아까와는 다른 길로 가게되면, 아니면 아까와는 다른 길로 가게되면, x = g(h(x)) 를 얻습니다 x = g(h(x)) 를 얻습니다 이는 단지 두 문자를 바꾼 것입니다 h와 g는 임의로 정해진 것이니까요 따라서 우리는 g(h(x)) = x를 얻습니다 따라서 우리는 g(h(x)) = x를 얻습니다 따라서 우리는 g(h(x)) = x를 얻습니다 화면의 표는 g, h, g'의 몇 가지 값을 나타냅니다 그리고 우리는 h'(3)을 구해야 합니다 그리고 우리는 h'(3)을 구해야 합니다 어떻게 할 수 있을까요? g', h, g가 주어졌을 때, 이를 어떻게 구할 수 있을까요? 이 문제에서 우리는 chain rule을 사용해서 미분을 해야합니다 이러한 문제는 흔하지는 않지만 흥미로운 문제입니다 우리는 이 문제를 풀어볼 것이고, 여러분은 자신의 미적분학 수업에서 이러한 문제를 볼 수 있을 겁니다 우선 앞에서 적은 식 중 하나에서 시작합시다 우선 앞에서 적은 식 중 하나에서 시작합시다 g(h(x)) = x에서 시작합시다 g(h(x)) = x에서 시작합시다 g(h(x)) = x g와 h가 역함수 관계라면 이 식은 정의에 의해 성립합니다 이 식의 양변을 미분합시다 양변의 x에 대한 미분을 취하면 양변의 x에 대한 미분을 취하면 양변의 x에 대한 미분을 취하면 좌변은 chain rule을 적용하면 g'(h(x)) × h'(x) 입니다 g'(h(x)) × h'(x) 입니다 g'(h(x)) × h'(x) 입니다 g'(h(x)) × h'(x) 입니다 이 식은 x를 x로 미분한 값인 이 식은 x를 x로 미분한 값인 1과 같습니다 이제 문제가 흥미로워집니다 우리가 구해야 할 것은 h'(3)입니다 우리는 h(3)이 무엇인지 알고, 이를 이용해서 g'(h(3))을 구할 수 있습니다 이를 이용해서 g'(h(3))을 구할 수 있습니다 이 식을 h'(x)에 대해 다시 쓰면 이 식을 h'(x)에 대해 다시 쓰면 h'(x) = 1/g'(h(x)) 로 나타납니다 h'(x) = 1/g'(h(x)) 로 나타납니다 몇몇 서클에서는 여러분이 이 공식을 외우고 어쩌면 칸아카데미의 이 예제를 풀어보는 것을 권할지도 모릅니다 하지만 제가 미적분학을 거의 25년간 다루면서, 이 식을 외우지는 않았습니다 하지만 그 대신 여러분은 이 식을 역함수의 정의를 미분하여 유도할 수 있습니다 일단 여기에서는 이 식을 h'(3)이 무엇인지 구하는데 씁시다 h'(3)는 1/g'(h(3)) 과 같습니다 h'(3)는 1/g'(h(3)) 과 같습니다 그리고 이 값은 주어져 있습니다 h(3) = 4, h(3) = 4, h(3) = 4, 그리고 g'(4) = ½ 로 주어졌습니다 그리고 g'(4) = ½ 로 주어졌습니다 그리고 g'(4) = ½ 로 주어졌습니다 그리고 g'(4) = ½ 로 주어졌습니다 따라서 h'(3) = 1/(½) = 2 입니다 따라서 h'(3) = 1/(½) = 2 입니다 따라서 h'(3) = 1/(½) = 2 입니다 따라서 h'(3) = 1/(½) = 2 입니다