역함수의 도함수

두 함수가 있는데 서로의 역함수입니다 f(x)가 있고 g(x)도 있습니다 이는 f(x)의 역함수이죠 f(x)도 g(x)의 역함수이기도 합니다 역함수가 무엇인지 모른다면 역함수가 무엇인지 모른다면 칸아카데미에서 역함수 부분을 배우고 오시면 돼요 역함수의 성질 중 하나는 g(f(x)) f(x)의 f(x) 역함수는 g(f(x)) f(x)의 f(x) 역함수는 x입니다 이는 함수의 역함수의 정의에 기반합니다 이는 함수의 역함수의 정의에 기반합니다 이게 x라면 함수 f는 어떤 값 f(x)에 대응합니다 함수 f는 어떤 값 f(x)에 대응합니다 f(x)는 이렇겠죠 그리고 f의 역함수 g에 f(x)를 대입하면 x로 되돌아갑니다 f(x)를 대입하면 x로 되돌아갑니다 이게 f의 역함수입니다 g는 f의 역함수이고요 여태까지는 역함수에 대한 복습이었습니다 이제 연쇄법칙으로 미적분학을 적용해 보겠습니다 이제 연쇄법칙으로 미적분학을 적용해 보겠습니다 아주 흥미로운 결과가 나옵니다 이 방정식 양변의 도함수를 구해보겠습니다 이 방정식 양변의 도함수를 구해보겠습니다 미분 기호를 적용해서 왼쪽에 d/dx 오른쪽에 d/dx를 써 줍니다 그러면 어떻게 되나요? 왼쪽에는 연쇄법칙을 적용합니다 따라서 이건 f(x)에 대한 g의 도함수입니다 따라서 이건 f(x)에 대한 g의 도함수입니다 g'(f(x))에 g'(f(x))에 g'(f(x))에 x에 대한 f(x)의 도함수를 곱한 것입니다 f'(x)를 곱해 줍니다 f'(x)를 곱해 줍니다 이것은 무엇과 같을까요? x의 x에 대한 도함수는 1입니다 여기서 흥미로운 결과가 나옵니다 여태까지 한 것은 역함수에 대해 아는 것을 사용했고 연쇄법칙을 이용해 왼쪽 변의 도함수를 구했습니다 하지만 양변을 g'(f(x))로 나누면 무엇이 나오나요? 함수의 도함수와 역함수의 도함수의 관계를 얻게 됩니다 역함수의 도함수의 관계를 얻게 됩니다 따라서 f'(x)는 따라서 f'(x)는 1/g'(f(x))입니다 1/g'(f(x))입니다 1/g'(f(x))입니다 1/g'(f(x))입니다 1/g'(f(x))입니다 아주 흥미롭습니다 함수의 도함수를 알면 그것을 이용해 역함수의 도함수를 구할 수 있습니다 기본적인 함수를 보면 이것이 참임을 알 수 있습니다 기본적인 함수를 보면 이것이 참임을 알 수 있습니다 f(x) = e^x이고 f(x) = e^x이고 f(x) = e^x이고 g(x)는 f의 역함수입니다 g(x)는 f의 역함수입니다 g(x)는 f의 역함수입니다 e^x의 역함수는 무엇일까요? 이렇게 생각해 보세요 y = e^x이 있으면 변수를 바꾸어 다시 y에 대해 풀면 됩니다 x = e^y이 되고 양변에 ln을 적용해 ln(x) = y가 됩니다 따라서 e^x의 역함수는 ln(x)입니다 이는 역함수에 대한 복습일 뿐입니다 익숙하지 않다면 칸아카데미에서 복습하세요 따라서 g(x) = ln(x)입니다 따라서 g(x) = ln(x)입니다 이제 이것이 두 함수에 대해 성립하는지 봅시다 그러면 f'(x)는 무엇일까요? 결과가 엄청납니다 e가 아주 재미있는 점은 e^x의 도함수는 e^x라는 점입니다 또한 다른 동영상에서 보았듯 ln(x)의 도함수는 1/x입니다 이게 맞아 떨어지는지 봅시다 f'(x)인 e^x가 f'(x)인 e^x가 f'(x)인 e^x가 1/g'(f(x))과 같아야 합니다 1/g'(f(x))과 같아야 합니다 g'(f(x))는 1/f(x)이고 1/f(x)이고 f(x)는 e^x이므로 1/1/e^x입니다 이게 맞나요 그렇습니다 1/1/e^x는 그냥 e^x입니다 1/1/e^x는 그냥 e^x입니다 다 맞아 떨어지네요 이 둘은 서로 역함수이므로 반대로 할 수도 있습니다 g'(x) = f'(g(x))라고 할 수도 있죠 g'(x) = f'(g(x))라고 할 수도 있죠 서로 역함수이기 때문입니다 아주 흥미로운 것은 이것을 사용해 역함수의 도함수가 무엇일지 어느정도 알 수 있다는 것입니다