음함수 미분법 심화

다음 식을 살펴봅시다 y = cos(5x-3y) 우리는 y의 x에 대한 변화율을 구하고자 합니다 y가 x에 대한 함수라고 하죠 우리가 항상 하던 것을 해봅시다 양변에 미분연산자를 써볼게요 양변에 미분연산자를 써볼게요 좌변은 dy/dx가 되고, 우변에서는 체인룰을 써보죠 cos(5x-3y)의 5x-3y에 대한 미분은 -sin(5x-3y)이 되죠 -sin(5x-3y)이 되죠 그리고서는 여기에 5x-3y의 x에 대한 미분을 곱합니다 5x-3y의 x에 대한 미분을 구하면 5x의 미분은 5가 되고 -3y의 x에 대한 미분은 -3dy/dx가 되겠죠 즉, y의 x에 대한 미분에 -3배입니다 이제 dy/dx에 대해 정리하면 됩니다 일부 문제에서는 이것이 어려운 부분입니다 그 전에 dy/dx를 같은 색으로 쓸게요 더 잘 보이게 말이죠 그리고 괄호를 닫을게요 이제 어떻게 할까요 사실 그냥 단순한 대수학입니다 우선, sin(5x-3y)를 분배합시다 전체 식을 다시 쓸게요 dy/dx는 dy/dx는 -sin(5x-3y)를 분배한 것, 그림으로 표현하자면 다음과 같이 됩니다 다음과 같이 됩니다 식을 쓰면 -sin(5x-3y)의 5배 즉, -5sin(5x-3y)가 되고 즉, -5sin(5x-3y)가 되고 다음은 음의 부호끼리 곱하므로 양의 부호가 되겠죠 즉, + 3sin(5x-3y)dy/dx가 됩니다 즉, + 3sin(5x-3y)dy/dx가 됩니다 이제 마지막 항을 양변에 뺍시다 이제 마지막 항을 양변에서 뺍시다 이것은 원래 1dy/dx이고요 여기서 마지막 항을 빼므로 좌변에서는 1dy/dx 빼기 3sin(5x-3y)dy/dx를 합니다 즉, 1 빼기 3 숫자 색을 유지할게요 (1-3sin(5x-3y))dy/dx가 좌변에 남고요, 이것은 우변과 같은데 이 항을 양변에 뺐으니까 우변에서는 이 항이 없어집니다 그러므로 남는 것은 -5sin(5x-3y)입니다 이제 마지막 단계입니다 dy/dx에 대해 정리하기 위해 양변을 이 식으로 나누면 됩니다 그럼 남는 것은 좌변에 dy/dx, 우변에 -5sin(5x-3y) 나누기 (1-3sin(5x-3y))가 됩니다 이게 끝입니다