음함수 미분법 심화

다시 x와 y의 괴상한 관계식을 가져왔습니다 이것이 어떻게 생겼을지 감을 얻기 위해 이 식을 만족하는 x와 y를 모두 표현하면 여러분은 이런 작은 클로버 모양을 얻게 됩니다 저는 Wofram Alpha에서 그렸습니다 하지만 제가 궁금한 것은 제목에서 보셨겠지만 x가 변화하는 속도에 비해 y가 얼마나 빨리 변화하는지 입니다 우리는 이것을 음함수로 다뤄야 합니다 우리는 음함수 미분을 해야 합니다 우리의 미분연산자를 양변에 곱합시다 왼쪽에 d/dx 오른쪽에도 d/dx 한번 더 연쇄법칙을 적용해 봅시다 무언가의 세제곱을 미분했으므로 앞에 3을 곱하고 제곱으로 바꿔줍니다 그리고 안의 값을 x에 대해 미분한 값을 곱해줘야 합니다 x²을 x에 대해 미분하면 2x가 될 것이고 x²을 미분한다면 말입니다 거기에 y²을 y에 대해 미분한 2y에 dy/dx를 곱해서 더해줍니다 지금 여기에 연쇄 법칙을 사용했습니다 제곱된 y를 y에 대해 미분해서 2y를 얻었고 y를 x에 대해 미분한 값인 dy/dx를 곱한 것 입니다 이 값은 우변의 값과도 같을 것 입니다 우변에는 5x²y²이 있습니다 5는 연산자 앞으로 뺄 수 있습니다 연산자 밖으로 빼내겠습니다 즉 5가 곱해진 식을 미분한 것은 먼저 미분을 하고 5를 곱한 것과 같습니다 그러면 이제 곱의 미분을 사용합니다 괄호로 묶고 x²의 미분을 즉 2x를 y²에 곱합니다 이 부분이 첫번째 함수의 도함수와 두번째 함수의 곱이 됩니다 여기에 첫번째 함수인 x²과 두번째 함수의 도함수의 곱을 더합니다 y²을 x에 대해 미분한 값은 이미 구해 놓았듯이 y²을 y에 대해서 미분한 2y 곱하기 dy/dx가 됩니다 방금 한 계산을 더 분명하게 하겠습니다 왼쪽은 y²이 그대로 왔고 오른쪽은 미분한 것 입니다 여기서 제가 미분 연산자를 곱했습니다 여기는 x²이 그대로 왔고 왼쪽에는 연산자를 붙혀서 2x를 얻었습니다 x에 대해 미분한 겁니다 그러면 이 식을 dy/dx에 대해 정리해봅시다 우선 좌변의 이 보라색을 곱해서 전개할 겁니다 이 보라색 부분을 여기에 분배시켜 주면 3×2x(x²+y²)²=6x(x²+y²)²를 얻게 됩니다 똑같이 보라색 부분을 이 오른쪽 항에 분배시킵니다 2y×3(x²+y²)²=6y(x²+y²)² 이 됩니다 검산해봅시다 3×2y(x²+y²)²=6y(x²+y²)² 그리고 dy/dx를 덧붙혀 줍니다 우변도 마찬가지로 전개하면 이쪽부터 합시다 앞으로 dy/dx 이외에는 전부 보라색을 쓰겠습니다 여기에 5를 곱해서 10xy²을 얻었습니다 또 오른쪽에 5를 곱하면 10x²y dy/dx 가 됩니다 맞나요? 맞는 것 같습니다 이제 dy/dx에 대해서 풀어야 합니다 이제 우변의 10x²y dy/dx 를 빼겠습니다 10x²y dy/dx 를 양변에서 빼줍니다 10x²y dy/dx 초록색으로 바꿉시다 dy/dx 아래의 식을 양변에서 뺴겠습니다 좌변에만 dy/dx를 남겨두기 위해서 말입니다 dy/dx 그리고 6x(x²+y²)²을 양변에서 빼겠습니다 -6x(x²+y²)² 이쪽에도 같은 식을 빼겠습니다 -6x(x²+y²)² 이제 남은 것을 확인합시다 6x(x²+y²)²은 사라지고 여기 좌변에는 (6y(x²+y²)² - 10x²y) dy/dx만 남게 됩니다 여기서 dy/dx는 y를 x로 미분한 것 입니다 우변에서는 10x²y dy/dx가 사라지고 10xy²-6x(x²+y²)² 만 남습니다 dy/dx에 대해 정리하는 것이 목적이므로 양변을 여기 전체 식으로 나누어 주겠습니다 그러면 여러분은 dy/dx를 구할 수 있게 됩니다 드디어 클라이맥스에 도달했습니다 y를 x에 대해 미분한 식 즉 dy/dx 는 이 전체 식이 됩니다 여기 식을 복사해서 붙여 넣겠습니다 복사하고 붙여 넣었습니다 10xy²-6x(x²+y²)² 나누기 6y(x²+y²)² - 10x²y 이번에도 복사해서 붙여 넣겠습니다 분수 기호를 넣겠습니다 드디어 끝났습니다 조금 복잡한 식이었지만 그렇게 어렵지 않게 y를 x로 미분한 식을 구할 수 있었습니다 이제 여러분이 원하시는 이 곡선 위 점에서의 접선의 기울기를 구해봅시다 더 잘 보이도록 색깔을 넣겠습니다 이 지점에서의 접선의 기울기가 무엇일까요? 우선 x 좌표가 필요합니다 여러분이 만약 이 점의 x 좌표를 이 값으로 선택하신다면 식을 y에 대해 풀어서 y 좌표도 구할 수 있을 겁니다 그러면 여러분은 이 x와 y를 이 복잡한 식에 넣어서 이 접선의 기울기를 구하실 수 있습니다