음함수 미분법 심화

이상한 형태의 음함수의 도함수를 구해봅시다 여기 이 식의 그래프를 그렸습니다 굉장히 이상해보입니다 e^(xy²)＝x－y 그래도 이것을 보면 이 식을 만족하는 x 와 y 가 이 범위 안에는 있습니다 양변을 미분해봅시다 양변을 미분해봅시다 새로운 표기법을 알아봅시다 이렇게 쓰는것이 일반적이지만 가끔 D 를 볼 수 있을 것입니다 여기도 그렇게 하겠습니다 다시 한 번 말하자면 이것은 d/dx 와 같은 표현입니다 D 에 익숙해지기 위해서 D 를 이용하겠습니다 그리고 y의 도함수를 표현할 때 dy/dx 대신 y'이라고 쓰겠습니다 이 새로운 표기법으로 연습해볼 필요가 있습니다 여기 있는 것의 도함수를 구해봅시다 합성함수의 미분법을 이용해야 합니다 사실 합성함수의 미분법을 여러번 사용해야 합니다 e의 거듭제곱 꼴의 도함수는 그 원래 식에 지수를 x에 대해 미분한 것을 곱해주면 됩니다 여기에 xy² 의 도함수를 곱한 것이 좌변이 됩니다 아직 끝나지 않았습니다 우변을 보면 x의 도함수는 1이 되고 y를 x에 대해 미분한 것은 dy/dx 인데 이것 대신에 y' 이라고 적겠습니다 저는 이렇게 쓰는 것을 더 선호하는데 이 방법이 더 분명해보입니다 x에 대해 미분하고 있다는 것을 알고 있어야 합니다 여기는 x에 대한 y의 도함수임을 알아야 합니다 우선 이것에 집중을 해보겠습니다 여기 있는 모든 y' 과 y의 x에 대한 도함수를 핑크색으로 보기 쉽게 하겠습니다 다시 말하자면 이것은 e^(xy²)와 지수의 도함수를 곱한 것이 됩니다 이것의 도함수를 구하려면 합성함수의 미분법과 곱의 미분법이 필요합니다 합성함수의 미분법과 곱의 미분법이 필요합니다 x를 미분하면 1이 되므로 여기 y² 이 됩니다 그 다음에는 첫 번째 함수 x와 y²의 x에 대한 도함수를 곱해야 합니다 y²을 y에 대해 미분하면 2y 이고 y를 x에 대해 미분한 것을 곱해야 하는데 그것이 y' 이 됩니다 우변은 1－y' 입니다 이제 y' 에 대해서 정리해주면 됩니다 e^(xy²) 을 분배시켜 봅시다 그러면 e^(xy²)y² 이 됩니다 그러면 e^(xy²)y² 이 됩니다 그러면 y² e^(xy²)이 됩니다 그 다음 항은 2xye^(xy²)y' 가 됩니다 그 다음 항은 2xye^(xy²)y' 가 됩니다 이것이 1－y' 과 같습니다 이것이 1－y' 과 같습니다 모든 y' 을 한쪽으로 몰아봅시다 양변에 y' 을 더하면 될 것 같습니다 양변에 y'을 하나씩만 더해주면 됩니다 y'을 하나씩만 더해주면 됩니다 그리고 양변에서 이것을 뺍시다 양변에서 y² e^(xy²)를 빼주면 됩니다 양변에서 y² e^(xy²)를 빼주면 됩니다 양변에서 y² e^(xy²)를 빼주면 됩니다 남은 것은 (2xye^(xy²)＋1)y' 입니다 남은 것은 (2xye^(xy²)＋1)y' 입니다 이만큼의 y'이 있다가 한개를 더해줬으므로 원래의 양보다 하나 더 많아졌습니다 이것은 우변에 있는 1－y²e^(xy²) 와 같습니다 1－y²e^(xy²) 와 같습니다 이제 y' 을 구해야 합니다 복사해서 붙여넣겠습니다 그냥 다시 적겠습니다 화면을 조금만 내리겠습니다 1－y²e^(xy²) 1－y²e^(xy²) 를 좌변의 주황색 식으로 나눠야 합니다 공간이 조금 더 필요할 것 같습니다 2xye^(xy²)＋1 로 나눠주면 됩니다 이제 끝났습니다 매우 힘들었지만 근본적으로는 앞서 했던 것들과 다른 것은 없었습니다