도함수를 활용한 문제해결

극한값을 살펴봅시다 h가 0으로 갈 때 5log(2+h)-5log(2)/h (5log(2+h)-5log(2))/h를 계산해 봅시다 작은 힌트를 드리겠습니다 여러분이 영상을 중단하고서 문제를 풀어보기 전에요 도함수의 성질을 생각해 봅시다 특히, 로그 함수의 도함수를 살펴봅시다 로그 함수를 살펴봅시다 밑이 10인 로그 함수를 봅시다 만일 밑이 적혀 있지 않다면 그냥 밑이 10이라고 생각하면 됩니다 이제 잠깐 영상을 멈추고, 풀어보세요 좋아요, 여기서 기억할 것은 만일 f(x)가 있을 때 여기에 적어 볼게요 여기 적을게요 f(x) 그리고 f' f'에 어떤 수 a를 대입하면 f'(a)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다 h가 0으로 갈 때 h가 0으로 갈 때 h가 0으로 갈 때 (f(a+h)-f(a))/h (f(a+h)-f(a))/h를 계산해 봅시다 이 식은 옆에 있는 극한의 정의와 비슷해 보입니다 여기 5를 제외하면요 그런데, 운 좋게 이 5들을 뽑아낼 수 있어요 이것들을 여기 이렇게 앞으로 뽑아낼 수 있어요 상수가 나누어지거나 곱해져 있는 경우 이 극한의 성질에서 알 수 있듯 이것들을 극한값 밖으로 꺼낼 수 있어요 자, 한번 해보죠 이 양쪽의 5들을 밖으로 뽑아내면 전체 식은 이렇게 간단해지겠네요 5 × 극한값 h가 0으로 가까이 갈 때 (log(2+h)-log(2))/h (log(2+h)-log(2))/h를 계산해 봅시다 이제, 여기 노란 부분이 무엇인지 눈치채셨을 겁니다 생각해 봐요 이게 무엇인지 f(x)가 log(x)이라면 f'은 여기선 f'(2)이죠 극한값으로 h가 0으로 갈 때 log(2+h) log(2+h) log(2+h)-log(2) (log(2+h)-log(2))/h h로 나눈 식의 극한값입니다 (log(2+h)-log(2))를 h로 나눈 것입니다 따라서 이것은 여기 이 부분이 정의에 따라 f'(2)이죠 f(x) = log(x) 이라면 이것이 f'(2)가 됩니다 f'(2) 그럼, 계산할 수 있을까요? 만약 f(x) = log(x) 이라면 f'(x)는 무엇일까요? f'(x)의 극한 정의를 사용하지 않아도 돼요 사실 극한값 정의로 극한값을 구하는 건 조금 어려워요 그러나, 우리는 로그 함수의 도함수를 이용할 수 있어요 그래서 f'(x)는 다음과 같습니다. 1 나누기 자연로그 밑은 앞에서 말했듯이 10입니다 1/ ln(10) 곱하기 곱하기 x 만일 f(x)가 자연로그라면 그러면, 1/ ln(e) × x ln(e)는 1이므로 1/x를 얻게 될 것입니다 다른 밑의 경우에는 그 밑의 자연로그 값을 여기 분모에 곱하면 됩니다 그럼 f'(2)는 무엇일까요? f'(2)는 1/ ln(10) × 2 자, 이 모든 것들을 간단히 하면 이 모든 것이 5 × 1/2(ln10)으로 됩니다 그러니까 이렇게 쓸 수 있어요 5 나누기 5 나누기 ln 10 ln 10 × 2 (ln10) × 2를 2 ln10으로도 쓸 수 있습니다 이런 종류의 연습에서 중요한 것은 여러분은 잠깐 이런 생각을 할 수 있을 것 같아요 이 식의 극한값을 구하려고 봤을 때 도함수가 로그 함수의 도함수와 많이 비슷하다는 점을 알게 되면 놀라실 거예요 특히 x가 2일 때 만일 5를 그냥 뽑아내기만 하였다면 그래서 여러분도 5를 뽑아내기만 하고서 이것이 x = 2일 때 log(x)의 도함수와 같다는 것을 알아차리면 됩니다 이젠, log(x)의 도함수를 어떻게 다루는지 알게 되었어요 만약 모르겠다면 이를 증명한 동영상을 참조해주세요 로그함수의 도함수를 다루고 있습니다 e 외의 밑을 가진 경우도요 그러니 여러분은 그것도 활용하여 도함수를 구하는 것을 터득하고 x = 2일 때 계산해보면 됩니다 그러면 끝입니다