이 메시지는 외부 자료를 칸아카데미에 로딩하는 데 문제가 있는 경우에 표시됩니다.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

주요 내용

sin(ln(x²))의 미분

연쇄법칙을 두 번 사용하여 sin(ln(x²))를 미분해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

함수 sin(ln(x²))의 도함수를 구해봅시다 함수 sin(ln(x²))의 도함수를 구해봅시다 이 함수는 합성 함수 내부에 합성 함수가 있는 함수입니다 그러므로 우리는 이것을 풀기 위하여 sin(x)를 f(x)로 두고 ln(x)를 g(x) x²을 h(x) 로 둘 것입니다 그러면 구하려는 도함수는 f(g(h(x)))의 도함수와 같습니다 f(g(h(x)))의 도함수와 같습니다 우선 연쇄 법칙을 모른다고 하고 우선 연쇄 법칙을 모른다고 하고 이것을 어떻게 풀지 생각해봅시다 먼저 가장 바깥쪽 함수인 f를 g(h(x))에 대하여 미분해 봅시다 sin(x)를 미분하면 cos(x)가 되죠? 그러므로 f(g(h(x)))를 미분하면 cos(g(h(x)))가 될 겁니다 즉 cos(ln(x²))이 되겠죠 즉 cos(ln(x²))이 되겠죠 즉 cos(ln(x²))이 되겠죠 이제 h(x)에 대해 똑같이 해봅시다 방금 적은 함수는 f`(g(h(x)) 로 표현할 수 있습니다 f`(g(h(x)) 로 표현할 수 있습니다 다시 한 번 말씀드리자면 저는 가장 바깥쪽 함수인 f(x)를 그 안의 요소에 대해서 미분한 겁니다 이제부터는 g(x)를 그 안의 요소에 대해 미분할 겁니다 이제부터는 g(x)를 그 안의 요소에 대해 미분할 겁니다 하지만 g(h(x))도 합성합수입니다 그래서 우리는 연쇄 법칙을 이용하여 이것들을 미분 할 겁니다 ln을 x²에 대해서 미분해봅시다 ln을 x²에 대해서 미분해봅시다 ln(x) 를 미분하면 1/x 가 됩니다 그러므로 ln(x²) 를 미분하면 1/x²이 됩니다 다시 명확하게 하자면 이 부분은 g`(x)가 아닙니다 x 대신에 h(x) 즉 x²을 넣어야 합니다 x 대신에 h(x) 즉 x²을 넣어야 합니다 그러므로 g`(x²)가 되죠 마지막으로 가장 안쪽 함수를 미분해 봅시다 다시 써보면 이 부분은 g`(h(x))가 됩니다 이제 마지막으로 가장 안쪽 함수인 h(x)를 x에 대해 미분해봅시다 x²을 x에 대해 미분하면 2x가 됩니다 그러므로 h`(x)를 곱합니다 처음부터 끝까지 정리해보겠습니다 보라색으로 표시된 부분들은 똑같은 함수들입니다 위의 식은 명확하게 밑의 식은 치환하여 표현했습니다 이 부분들도 하나는 명확하게 하나는 치환하여 표현된 같은 함수입니다 마찬가지로 이 부분들도 같은 함수입니다 이제 거의 끝났습니다 이제 우리가 해야할 것은 이것들을 단순히 곱하는 것입니다 2x와 1/x²를 곱해봅시다 약분을 해 보면 2x × 1/x²은 2/x와 같습니다 이런 식으로 모두 곱합니다 그 결과는 그 결과는 cos(ln(x²)) × 2/x 입니다 복잡한 미분처럼 보이지만 하나씩 다시 해 봅시다 sin 함수를 미분하면 cos 이 됩니다 그럼 이제 함수 내부의 다른 함수를 미분해봅시다 그 함수 안에는 다른 함수가 있습니다 즉 안쪽 함수의 자연로그 값을 안쪽 함수에 대해 미분하면 1 나누기 안쪽 함수가 될 겁니다 그러므로 1/x²을 우리가 적은 것이죠 약분했지만 원래는 제곱이었죠? 마지막으로 가장 안쪽 함수를 미분합니다 양파 껍질을 벗기는 것처럼요 이 안쪽 함수를 x에 대해 미분하면 2x 입니다 여기에 방금 적었듯이 이 부분은 1/x² 이었고 이 부분은 2x였죠 조금이나마 도움이 되었다면 좋겠습니다