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주요 내용

연쇄법칙과 곱의법칙 사용하기

연쇄법칙과 곱의법칙을 사용해서 도함수를 구하는 여러 방법을 배워 봅시다.

동영상 대본

이번 동영상에서는 이번 동영상에서는 (x² sin x)³의 x에 대한 도함수를 구해보겠습니다 (x² sin x)³의 x에 대한 도함수를 구해보겠습니다 (x² sin x)³의 x에 대한 도함수를 구해보겠습니다 이것을 풀 수 있는 법은 여러가지가 있습니다 이것을 풀 수 있는 법은 여러가지가 있습니다 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 여러 방법이 있는데 하나는 연쇄법칙을 먼저 사용하는 것입니다 이걸 CR이라고 하겠습니다 이걸 CR이라고 하겠습니다 x에 대해 어떤 것의 세제곱의 도함수를 구해야 합니다 x에 대해 어떤 것의 세제곱의 도함수를 구해야 합니다 도함수를 구해 보면 먼저 어떤 것에 대한 도함수는 먼저 어떤 것에 대한 도함수는 3에 어떤 것의 제곱을 곱한 것에 3에 어떤 것의 제곱을 곱한 것에 x에 대한 그 어떤 것의 도함수를 곱한 것입니다 x에 대한 그 어떤 것의 도함수를 곱한 것입니다 여기서 그 어떤 것은 x²sin x입니다 x²sin x입니다 x²sin x입니다 이건 단지 연쇄법칙입니다 두 번째 부분은 어떻게 될까요? 두 번째 부분은 오렌지 색으로 해 봅시다 두 번째 부분은 오렌지 색으로 해 봅시다 두 번째 부분은 오렌지 색으로 해 봅시다 여기는 곱셈 공식을 사용하겠습니다 두 방정식의 곱이 있으니 이건 곱셈 공식 P.R이라 적겠습니다 이건 곱셈 공식 P.R이라 적겠습니다 이건 곱셈 공식 P.R이라 적겠습니다 첫 번째 방정식의 도함수 그러니까 x²의 도함수는 2x입니다 2x입니다 2x입니다 여기에 두 번째 방정식 sin x를 곱해 주고 첫 번째 방정식 x²과 두 번째의 도함수 cos x를 곱한 후 더해줍니다 두 번째의 도함수 cos x를 곱한 후 더해줍니다 이건 곱셈 공식을 여기에 적용한 결과입니다 이건 곱셈 공식을 여기에 적용한 결과입니다 이건 곱셈 공식을 여기에 적용한 결과입니다 이 모두는 당연히 앞부분에 곱해 주어야 합니다 이 모두는 당연히 앞부분에 곱해 주어야 합니다 다시 써보도록 합시다 다시 써보도록 합시다 다시 쓰면 이건 3에다 어떤 곱을 제곱하면 각각을 제곱하고 곱한 것과 같습니다 각각을 제곱하고 곱한 것과 같습니다 따라서 x²의 제곱은 x⁴입니다 그리고 sin x의 제곱은 sin²x입니다 sin²x입니다 이 모든 것을 곱해줍니다 그리고 원한다면 간단히 만들 수 있습니다 모두 분배하면 무엇이 나올까요? 봅시다 3 x 2는 6입니다 x⁴에 x를 곱하면 x⁵입니다 sin²x에 sin x를 곱하면 sin³x입니다 sin³x입니다 그리고 나머지를 더하면 x⁴에 x²을 곱하면 x⁶입니다 그리고 sin²x cos x가 나옵니다 그리고 sin²x cos x가 나옵니다 그리고 sin²x cos x가 나옵니다 다 했습니다 연쇄법칙을 먼저 하고 곱셈 법칙을 사용하는 방법이었습니다 다른 방법은 무엇일까요? 동영상을 멈추고 생각해 보세요 대수학적으로 지수의 성질을 이용할 수도 있을 것입니다 그러면 이것은 무엇과 같냐면 x에 대한 x에 대한 x²sin x를 세제곱하는 대신 x²의 세제곱이라 하고 x²의 세제곱이라 하고 sin³x라고 할 수 있습니다 sin³x라고 할 수 있습니다 sin³x라고 할 수 있습니다 sin³x라고 할 수 있습니다 여기서 간단히 할 때 사용한 지수의 성질과 같은 성질입니다 어떤 곱의 거듭제곱은 각각의 거듭제곱의 곱과 같습니다 각각의 거듭제곱의 곱과 같습니다 각각의 거듭제곱의 곱과 같습니다 이건 어떻게 할까요? 저라면 곱셈 공식을 먼저 하겠습니다 저라면 곱셈 공식을 먼저 하겠습니다 해 봅시다 곱셈 공식을 하겠습니다 곱셈 공식을 하겠습니다 첫 방정식의 도함수를 구합니다 첫 방정식의 도함수를 구합니다 x⁶의 도함수는 6x⁵이고 두 번째 방정식 sin³x를 곱해 줍니다 두 번째 방정식 sin³x를 곱해 줍니다 두 번째 방정식 sin³x를 곱해 줍니다 두 번째 방정식 sin³x를 곱해 줍니다 거기에 x⁶과 두 번째의 도함수를 곱한 후 모두 더합니다 d/dx[sin³x]라고 적겠습니다 d/dx[sin³x]라고 적겠습니다 d/dx[sin³x]라고 적겠습니다 이제 이것을 계산하려면 연쇄법칙을 사용하는 것이 말이 됩니다 연쇄법칙을 사용하는 것이 말이 됩니다 연쇄법칙을 사용하는 것이 말이 됩니다 연쇄법칙을 사용하는 것이 말이 됩니다 이건 무엇이 될까요? 어떤 것의 세제곱의 도함수이니 어떤 것의 세제곱의 도함수이니 3에 어떤 것의 제곱을 곱한 것과 3에 어떤 것의 제곱을 곱한 것과 그 어떤 것의 도함수를 곱해야 합니다 이 경우 어떤 것은 sin x입니다 sin x의 도함수는 cos x이고 여기 앞의 것도 넣어줍니다 6x⁵sin³x에 6x⁵sin³x에 6x⁵sin³x에 x⁶를 곱해 더해줍니다 x⁶를 곱해 더해줍니다 이걸 간단히 해 본다면 딱 보이는 게 이 둘은 동치입니다 이것과 이 항은 이 항과 완벽히 똑같습니다 이 항은 이 항과 완벽히 똑같습니다 이것도 똑같습니다 3x⁶을 (sin x)²cos x에 곱하면 그렇습니다 3x⁶을 (sin x)²cos x에 곱하면 그렇습니다 3x⁶을 (sin x)²cos x에 곱하면 그렇습니다 수학의 좋은 점은 논리적으로 말이 되는 것을 하면 같은 결과가 나온다는 점입니다 여기서의 요점은 방법이 많다는 것입니다 연쇄법칙을 먼저 쓰고 곱의 공식을 쓸 수도 있고 곱의 공식을 먼저 쓰고 연쇄법칙을 쓸 수도 있습니다 이 경우 무엇이 더 빠를지 논쟁할 수는 있습니다 오른쪽이 약간 더 빠를 수 있겠네요 오른쪽이 약간 더 빠를 수 있겠네요 둘이 비슷한 경우도 있고 둘이 비슷한 경우도 있고 둘이 비슷한 경우도 있고 무엇이 더 나을지 확실한 경우도 있습니다 무엇이 더 나을지 확실한 경우도 있습니다 실수를 할 수 있는 과정을 최소화 하세요 실수를 할 수 있는 과정을 최소화 하세요 실수를 할 수 있는 과정을 최소화 하세요