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주요 내용

합성 함수의 미분법으로 cos³(x)의 도함수 구하기

f(x)=cos³(x)는 함수 x³과 cos(x)가 합성된 함수입니다. 그러므로 합성 함수의 미분법으로 미분해 봅시다.

동영상 대본

f(x) = cos^3x라는 함수를 살펴봅시다 (cosx)^3이라고도 쓸수있죠 알아내고 싶은건 f'(x)에 대한 함수입니다 f'(x)에 대한 함수를 알아볼때 연쇄법칙이 유용하게 쓰입니다 연쇄법칙이 유용하게 쓰입니다 화면에 보이는 것과 미적분학 교과서 에서 볼 수 있는 것 사이의 연결점을 파해치고 연쇄법칙을 적용해보겠습니다 적용해보겠습니다 합성함수로 정의된 함수에 대해 살펴보죠 가리키는 곳을 보면 어떤 식의 세제곱을 볼 수 있습니다 x^3이 아닌 cos^3x에 대해 살펴보겠습니다 cosx 함수를 살펴보죠 cosx 함수를 살펴보죠 괄호안에 세제곱을 할 수 있는 다른 함수를 넣을 수 있죠 다른 함수를 넣을 수 있죠 화면을 보시면 먼저 x를 써보겠습니다 x에 cos을 적용하면 cosx가 됩니다 cosx가 만들어졌죠 cosx가 만들어졌죠 세제곱을 취하면 세제곱을 취하면 세제곱을 취하면 어떤 함수가 만들어질까요? 결국에 세제곱을 하게되면 (cosx)^3이 만들어 집니다 이것을 합성함수라고 부릅니다 합성함수의 관점으로 파란 박스에 있는 함수를 v 빨강 박스에 있는 함수를 u 라고 하겠습니다 x를 u에 적용시키면 u(x)가 되고 u(x)를 v에 적용시키면 이것의 결과를 보기전 v안에 무엇이 들어갈까요 v(u(x))가 됩니다 다른 방법으로도 표현이 가능하죠 다양한 방법으로 써보겠습니다 v(cosx)라고 표현할수도 있죠 v(cosx)라고 표현할수도 있죠 v안에 무엇이 들어가든지 간에 세제곱만 해주면 되죠 만약 v(x)라는 함수가 있으면 v(x^3)이 되겠죠 그래서 연쇄법칙이 말하고자 하는 것은 적용할 수 있다는 거죠 도함수를 구한다고 할때 화면과 같이 합성함수로 표현할 수 있다는 것이죠 간단하게, f(x)를 써봅시다 f(x)=v(u(x))입니다 제가 계속 같은 말만 반복하는 것 같은데 약간의 차이가 있습니다 첫번째로 배울땐 약간 이해하기 어려울 수 있기 때문이죠 그래서 약간 다른 방법으로 쓰고 있죠 연쇄법칙이 얘기하는 것은 교과서에서 볼 수 있는 f'(x)를 구하는 과정입니다 u(x)는 그대로 두고 전체를 미분해야 합니다 전체를 미분해야 합니다 v'(u(x))*u'(x)가 되죠 v'(u(x))*u'(x)가 되죠 v'(u(x))*u'(x)가 되죠 v'(u(x))*u'(x)가 되죠 이것은 연쇄법칙의 한가지 표현방법 입니다 화면속 경우에는 어떻게 해야할까요 파란색으로 표시해 보겠습니다 함수 v를 세제곱 한것을 파란색으로 놓겠습니다 f'(x)를 표현하는 다른 방법은 다른 표기법을 사용해야 합니다 미분의 관점으로 바라볼땐 이것을 dv/du dv/du dv/du 색깔을 같게 하겠습니다 dv/du *du/dx *du/dx *du/dx 즉 dv/du*du/dx 간단하게 다른 교과서 에서 볼 수 있는 다른 표기법으로 보라색과 초록색 밑줄 그은곳을 바꿔 표현해 보았습니다 추상적으로 얘기해서 어려우셨겠지만 계산을 해보죠 왼쪽에 있는 것을 왼쪽에 있는 것을 식을 다시써보죠 v와u를 제외한채로 잠시만요 색을 잘 못 골랐네요 다시 써보겠습니다 공간을 남기고 식을 쓰겠습니다 첫번째로 dv에서 v는 (cosx)^3으로 쓸 수 있습니다 (cosx)^3으로 쓸 수 있습니다 du에서 u는 cosx라고 쓸 수 있죠 곱하기 옆을 보면 du에서 u는 cosx가 되고 분모는 x를 써주면 되죠 제가 박스를 친 부분은 전에도 본적이 있죠 d/dx[cosx]는 알고 있습니다 알고 있습니다 같은색으로 써보면 cosx의 도함수는 -sinx와 같아지죠 그래서 박스를 -sinx로 바꿀 수 있습니다 이 방법으로 미분하는 것은 친숙하죠 이 이론에선 이 방법을 자주 볼 수 없지만 이해하는데 도와주죠 그래서 dcosx/ dx는 -sinx가 되었죠 그럼 왼쪽의 식은 어떻게 될까요 이 식이 의미하는게 무엇일까요 미분을 할때 미분을 할때 미분 식인 d(x)^3/dx 를 계산해보겠습니다 를 계산해보겠습니다 확실하게 괄호를 확실하게 괄호를 치겠습니다 계산할 때 이 식에서 이 식에서 지수를 밖으로 빼주면 계산했을때 3*x^2가 됩니다 3*x^2가 됩니다 3*x^2가 됩니다 어떤 식을 미분할 때 일반적인 개념을 알려드리겠습니다 다른 색을 사용해보면 오렌지 원의 세제곱을 미분하면 우측의 식은 오렌지 원이나 노란 원이 되겠죠 오렌지 원으로 해봅시다 오렌지 원에 대하여 오렌지 원의 세제곱을 미분한 것은 3*오렌지원의 제곱이 됩니다 그래서 cosx에 대하여 cosx^3을 미분할 때 식의 결과값은 식의 결과값은 3*(cosx)^2가 됩니다 됩니다 잠깐 다시 생각해보면 안에 있는 식에 대하여 바깥의 식을 미분했죠 x^3을 미분 한것과 같이 x대신에 cosx를 대입한 것이죠 또 3x^3대신에 3(cosx)^3을 대입한 것 이죠 연쇄법칙에 따라 마침내 x에 대한 cosx를 미분한 것을 구했죠 길고 복잡했지만 최종단계에 왔습니다 도함수를 알아보면 도함수를 알아보면 -3 sinx*cos^2x가 되죠 -3 sinx*cos^2x가 되죠 -3 sinx*cos^2x가 되죠 연쇄법칙을 설명하기 위해 많은 풀이가 필요했지만 확실히 이해하기 위해선 직접 말해야 합니다 안에 식에 대하여 바깥의 세제곱 식을 미분해보았습니다 x인 것처럼 cosx를 다루어 보았습니다 결과로 -3(cosx)^2이 되었죠 밑줄친 부분처럼 안에 있는 식을 미분한 것은 -sinx가 되었죠