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주요 내용

합성 함수의 미분법

합성 함수의 미분법에 의하면 f(g(x))의 도함수는 f'(g(x))⋅g'(x)입니다. 다시 말해서 *합성함수*를 쉽게 미분할 수 있게 해줍니다. 예를 들어서, sin(x²)는 f(x)=sin(x)이고 g(x)=x²인 f(g(x))형태로 나타낼 수 있으므로 합성함수입니다. 합성 함수의 미분법과 sin(x), x²의 도함수를 사용해서 sin(x²)의 도함수를 구할 수 있습니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

이번 영상에서 알아볼 것은 미적분학에서 중심이 되는 원리 중 하나이고 어느 정도 복잡한 도함수를 구할 때면 항상 사용할 어느 정도 복잡한 도함수를 구할 때면 항상 사용할 합성함수의 미분법인 연쇄법칙입니다 처음 보면 조금 벅차고 난해해 보일 수 있지만 예제를 보다 보면 이해가 갈 것이고 오히려 간단하고 직관적으로 보일 것입니다 함수가 있다고 합시다 함수 h(x)는 예를 들어 (sin(x))²라고 해 봅시다 이렇게 쓸 수도 있습니다 이렇게 쓸 수도 있습니다 sin²(x)라고요 하지만 이렇게 쓰면 좀 더 확실합니다 그러니 이렇게 하죠 h'(x)가 무엇인지 궁금하네요 h'(x)가 무엇인지 궁금하네요 x에 대한 h의 도함수라고 쓸 수도 있습니다 x에 대한 h의 도함수라고 쓸 수도 있습니다 이 둘은 표기만 다를 뿐입니다 이것을 연쇄법칙으로 풀어보겠습니다 이것을 연쇄법칙으로 풀어보겠습니다 연쇄법칙은 함수가 여러 개의 함수로 구성되어 있을 때 거의 항상 사용됩니다 아직 그게 당연하지 않게 느껴질 수 있지만 이번 동영상이나 다음 번쯤에는 그렇길 바랍니다 이번 동영상이나 다음 번쯤에는 그렇길 바랍니다 머릿속에서 생각을 해봅시다 머릿속에서 생각을 해봅시다 머릿속에서 생각을 해봅시다 x에 대한 도함수가 무엇인지 묻는다면 x에 대한 도함수가 무엇인지 묻는다면 x에 대한 x²의 도함수를 구하면 무엇을 얻게 되나요? 2x가 나옵니다 이건 아주 아주 많이 보았죠 a에 대한 a²의 도함수를 구하면요? a에 대한 a²의 도함수를 구하면요? 똑같습니다 x 대신 a를 사용한 것 뿐이죠 2a입니다 조금 더 복잡한 것을 해보겠습니다 조금 더 복잡한 것을 해보겠습니다 sin(x)에 대한 (sin(x))²의 도함수는 무엇일까요? 여기에 x나 a가 있던 곳에 sin(x)를 넣기만 하면 됩니다 이것은 가지고 있는 것에 2만 곱하면 됩니다 도함수를 구하는 기준을 말합니다 여기는 x이고 여기는 a입니다 여기는 sin(x)입니다 따라서 이것은 2sin(x)가 됩니다 따라서 이것은 2sin(x)가 됩니다 연쇄 법칙은 이것의 도함수는 일단 이것의 도함수는 일단 바깥에 있는 함수 x²의 도함수를 바깥에 있는 함수 x²의 도함수를 바깥에 있는 함수 x²의 도함수를 sin(x)에 대해 구해야 합니다 2sin(x)가 되겠죠 안에 있는 함수에 대한 바깥 함수의 도함수입니다 2sin(x)죠 sin(x)를 x로 취급하는 것입니다 2x가 될 것이 2sin(x)가 된 것입니다 2sin(x)에 x에 대한 sin(x)의 도함수를 곱해줍니다 이건 더 간단합니다 이건 더 간단합니다 x에 대한 sin(x)의 도함수는 여러 번 보았듯이 cos(x)입니다 그러니 cos(x)를 곱해 줍니다 이렇게 연쇄법칙을 적용했습니다 안에 있는 함수에 대한 바깥 함수의 도함수 안에 있는 함수에 대한 바깥 함수의 도함수 sin(x)에 대한 x²의 도함수는 2sin(x)이고 이것에 x에 대한 sin(x)0의 도함수를 곱해 주었습니다 정리해 보면 이것은 (sin(x))²의 도함수이고 이것은 (sin(x))²의 도함수이고 이것은 (sin(x))²의 도함수이고 확실하게 하면 sin(x)에 대해 도함수를 구한 것입니다 거기에 x에 대한 sin(x)의 도함수를 곱해 주었습니다 도함수를 곱해 주었습니다 도함수를 곱해 주었습니다 여기서 이해가 가기 시작할 수 있습니다 여기서 이해가 가기 시작할 수 있습니다 이런 도함수는 d에 무엇이 오던 dx던 d sin(x)이던 수로 취급할 수 없습니다 이런 표기법이 분수처럼 보이는데 이런 표기법이 분수처럼 보이는데 그런 개념은 맞습니다 하지만 분수로 취급하면 이것들을 소거하려고 할 수도 있습니다 따지면 맞는 것은 아니지만 이해에 도움을 줄 수 있습니다 이렇게 하면 남는 것은 x에 대한 (sin(x))²의 도함수입니다 그러면 남는 것은 기존에 구하려 했던 x에 대한 (sin(x))²의 도함수입니다 바로 여기 dh/dx와 같죠 바로 여기 dh/dx와 같죠 이것은 기존 함수인 h입니다 이것은 기존 함수인 h입니다 지금은 조금 어려울 수도 있지만 다음 동영상에서는 여러 예제를 보며 더 살펴보겠습니다